Intuition derrière la porte Hadamard

J'essaie de m'enseigner l'informatique quantique, et j'ai une compréhension décente de l'algèbre linéaire.

Je suis passé par la porte NOT, ce qui n'était pas trop mal, mais je suis arrivé à la porte Hadamard. Et je suis resté coincé. Principalement parce que si je "comprends" les manipulations, je ne comprends pas ce qu'elles font vraiment ni pourquoi vous voudriez les faire, si cela a du sens.

Par exemple, lorsque la porte Hadamard prend elle donne . Qu'est-ce que ça veut dire? Pour la porte NON, il prend et donne . Rien de flou à ce sujet; il donne "l'opposé" du bit (pour la superposition, il prend et donne ) et je comprends pourquoi cela est utile; pour les mêmes raisons (essentiellement) qu'il est utile dans un ordinateur classique. Mais que fait (par exemple) la porte Hadamard géométriquement à un vecteur ? Et pourquoi est-ce utile?$|0\rangle$$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$$|0\rangle$$|1\rangle$$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$\beta|0\rangle + \alpha|1\rangle$$\begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

La porte Hadamard pourrait être votre première rencontre avec la création de superposition . Lorsque vous dites que vous pouvez relier l'utilité de la porte Pauli (aka ) à son homologue classique - eh bien, Hadamard est exactement là où vous quittez le domaine de l'analogue classique, alors. Il est utile pour exactement la même raison, cependant, à savoir qu'il est souvent utilisé pour former un ensemble universel de portes (comme classique avec et fan-out, ou avec fan-out seul).$X$NOTANDNOTNOR

Alors qu'une seule porte est quelque peu directement utile dans la génération de nombres aléatoires (comme l'a dit Yuval Filmus), sa véritable puissance apparaît lorsqu'elle apparaît dans plusieurs cas ou en combinaison avec d'autres portes. Lorsque vous avez qubits initialisés dans , par exemple, et appliquez un à chacun d'eux dans n'importe quel ordre, ce que vous obtenez est qui peut être étendu à Voilà, nous pouvons maintenant évaluer les fonctions sur$H$$n$$|0\rangle$$H$

$$(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) \otimes \ldots \otimes (|0\rangle + |1\rangle) / 2^{n/2}$$ $$1/2^{n/2} \cdot (|00\ldots00\rangle + |00\ldots01\rangle + |00\ldots11\rangle + \ldots + |11\ldots11\rangle)$$ $2^n$différentes entrées en parallèle! C'est, par exemple, la première étape de l'algorithme de Grover .

Une autre utilisation populaire est un Hadamard sur un qubit suivi d'un CNOTcontrôlé avec le qubit que vous venez de mettre en superposition. Voir: C'est un état de Bell qui est la pierre angulaire de divers protocoles de distribution de clés quantiques , de calculs basés sur des mesures , de téléportation quantique et de nombreuses autres applications . Vous pouvez également utiliser plusieurs fois sur des qubits cibles plus initialisés à zéro (avec le même contrôle) pour créer qui est connu sous le nom de GHZ Etat

$$CNOT \big(2^{-1/2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes|0\rangle \big) = 2^{-1/2} CNOT(|00\rangle + |10\rangle) = 2^{-1/2} (|00\rangle + |11\rangle)$$ CNOT $$2^{-1/2} (|00\ldots00\rangle + |11\ldots11\rangle)$$ , également extrêmement utile.

Enfin et surtout, c'est une transformation de base très utile qui est auto-réversible. Ainsi, une autre porte Hadamard annule, dans un sens, ce que faisait une application précédente ( ). Vous pouvez expérimenter ce qui se passe si vous l'utilisez pour "prendre en sandwich" d'autres opérations, par exemple en placer une sur le qubit cible d'une porte et une autre après. Ou sur les deux qubits (pour un total de 4 Hadamards). Essayez-le vous-même et vous en apprendrez certainement beaucoup sur le calcul quantique!$H^2 = I$CNOT

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Re "qu'est-ce que la porte Hadamard fait géométriquement à un vecteur": lisez la sphère Bloch , vous allez en entendre parler partout. Dans cette représentation, une porte Hadamard fait une rotation de 180 ° autour d'un certain axe incliné. Les portes Pauli ( NOTétant une sur trois) effectuent également des rotations à 180 ° mais seulement environ ou ou . Parce que ces opérations géométriques sont assez restreintes, ces portes seules ne peuvent pas vraiment faire grand-chose. (En effet, si vous vous limitez à ceux-ci et à un$x$$y$$z$CNOTdans votre ordinateur quantique, vous venez de construire un appareil classique très coûteux et inefficace.) La rotation autour de quelque chose d'incliné est importante, et un autre ingrédient dont vous avez généralement besoin est également de tourner d'une fraction plus petite de l'angle, comme 45 ° (comme dans la phase shift shift ).

La porte Hadamard fonctionne sur un seul qubit. L'état d'un qubit unique peut être décrit comme , où . Si vous mesurez le qubit, la sortie est avec la probabilité et avec la probabilité . D'un point de vue linéaire-algébrique, l'état d'un qubit n'est qu'un vecteur normalisé unitaire de longueur deux sur les nombres complexes. Les deux vecteurs couvrent un espace vectoriel de dimension deux (sur les nombres complexes), et chaque vecteur de norme unitaire dans cet espace vectoriel peut être l'état d'un qubit .$\alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$0$$|\alpha|^2$$1$$|\beta|^2$$\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle$

Puisque l'état a toujours une norme unitaire, les seuls opérateurs linéaires possibles sur les qubits sont ceux qui préservent les normes. De l'algèbre linéaire, nous savons que ce sont exactement les opérateurs hermitiens. Pour décrire un opérateur, il suffit de décrire son effet sur une base. Par exemple, la valeur de votre opérateur sur le vecteur est .$\left| 0 \right\rangle$$\frac{\left| 0 \right\rangle + \left| 1 \right\rangle}{\sqrt{2}}$

Selon Wikipédia , la porte Hadamard est utilisée pour former une "entrée aléatoire". Si elle est appliquée à un qubit constant (c'est-à-dire , , ou une rotation de ceux-ci par un nombre complexe de normes unitaires), la porte Hadamard forme un qubit "uniformément aléatoire" , qui, lorsqu'il est mesuré, se comporte comme un joli tirage au sort. C'est le genre de comportement que nous voulons lorsque nous «essayons toutes les possibilités en parallèle».$\left| 0 \right\rangle$$\left| 1 \right\rangle$

Je vous suggère de continuer votre lecture sur le calcul quantique; lorsque vous arriverez aux algorithmes quantiques (comme Grover et Shor), vous comprendrez à quoi servent toutes ces portes quantiques.