Pourquoi A implique B vrai si A est faux et B est faux?

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Il me semble que le «implique» en anglais ne signifie pas la même chose que l'opérateur logique «implique», de la même manière que le mot «OU» dans la plupart des cas signifie «OU exclusif» dans notre utilisation quotidienne de la langue.

Prenons deux exemples:

Si aujourd'hui est lundi, demain est mardi.

C'est vrai .

Mais si nous disons:

Si le soleil est vert, l'herbe est verte.

Ceci est également considéré comme vrai. Pourquoi? Quelle est la «logique» en anglais naturel derrière tout cela? C'est impressionnant.

yoyo_fun
la source
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Parce que l'implication concerne la préservation de la vérité . Si est faux, il n'y a pas de vérité à conserver. A
Rodrigo de Azevedo
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La logique booléenne n'a rien à voir avec la langue anglaise.
Yuval Filmus
8
Déjà couvert sur Math Stack Exchange dans ce fil et d'autres sujets
Nayuki
8
Cet échange de pile de philosophie sur la question est également pertinent: pourquoi les conditions avec de faux antécédents sont-elles considérées comme vraies?
duplode
2
@MHH ah, c'est ça. "Si x> 5 alors x> 3" est non vide vrai ", si 2> 5 alors 2> 3" est une implication vraie (fausse prémisse) mais non vide parce qu'il n'y a pas d'ensemble vide impliqué.
eques

Réponses:

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Les humains sont mauvais en logique jusqu'à ce qu'ils doivent l'utiliser pour comprendre les affaires humaines. Considérez « si puisAB » comme une sorte de promesse: «Je vous promets que si vous faites je ferai ». Une telle promesse ne dit rien sur ce que je pourrais faire si vous ne parvenez pas à faire . En fait, je pourrais faire toute façon, et cela ne ferait pas de moi un menteur.ABAB

Par exemple, supposons que votre mère vous dise:

Si vous nettoyez votre chambre, je ferai des crêpes.

Et disons que vous n'avez pas nettoyé votre chambre, mais quand vous êtes entré dans la cuisine, votre maman faisait des crêpes. Demandez-vous si cela fait de votre maman une menteuse. Ce ne est pas! Elle ne serait menteuse que si vous nettoyiez la chambre mais elle refusait de faire des crêpes. Il pourrait y avoir d'autres raisons pour lesquelles elle a décidé de faire des crêpes (peut-être que votre sœur a nettoyé sa chambre). Votre maman ne vous a pas dit "Si vous ne nettoyez pas la pièce, je ne ferai pas de crêpes", a-t-elle fait?

Donc, si je dis

"Si le soleil est vert, l'herbe est verte."

cela ne fait pas de moi un menteur. Le soleil n'est pas vert (vous n'avez pas nettoyé la pièce), mais l'herbe s'est avérée verte de toute façon (mais votre maman a quand même fait des crêpes).

Andrej Bauer
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Cela ne ferait pas de vous un menteur, mais cela ne ferait pas non plus de vous un conteur de vérité. Pourquoi ne dites-vous pas simplement la vérité honnête, qui est que c'est purement une convention? Tout le monde sur la planète semble avoir peur de le dire (sauf l'utilisateur qui a posté l'autre réponse sur cette page) ...
Mehrdad
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À quoi faites-vous référence lorsque vous dites que " c'est purement une convention"? Le sens de l'implication? Bien sûr, mais vous vous trompez quand vous dites que c'est purement une convention, comme si le sens de l'implication était une sorte de poubelle arbitraire qu'un bureaucrate a inventé. Les conventions (si vous voulez les appeler ainsi) en mathématiques sont là pour une bonne raison. Ils sont utiles et aident à expliquer les choses. Ils sont loin d'être arbitraires, c'est pourquoi il est intellectuellement malhonnête de prendre la position selon laquelle "tout n'est que pure convention". Cela fait de vous un troll.
Andrej Bauer
La respiration n'est qu'une convention. ;-)
jpaugh
2
<span style = "voice: samuel-jackson"> Vous pensez que c'est de l'air que vous respirez? </span>
Andrej Bauer
2
@AndrejBauer - ... euh, je pense que tu veux dire style="voice: laurence-fishburne"..
Mark Rogers
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C'est une convention - nous pourrions en utiliser une autre, mais celle-ci est pratique. Voici ce que dit Terence Tao :

Ceci est discuté dans l'annexe A.2 de mon livre [Analyse 1]. La notion d'implication utilisée en mathématiques est celle d'implication matérielle, qui attribue en particulier une vraie valeur à toute implication vide. On pourrait bien sûr utiliser une convention différente pour la notion d'implication, mais l'implication matérielle est très utile pour prouver des théorèmes mathématiques, car elle permet d'utiliser des implications telles que «si A, alors B» sans avoir à vérifier d'abord si A est vrai ou non. L'implication matérielle obéit également à un certain nombre de propriétés utiles, telles que la spécialisation: si par exemple on sait pour chaque x que P (x) implique Q (x), alors on peut spécialiser cela à une valeur spécifique de x, disons 3, et concluons que P (3) implique Q (3). Notez cependant que ce faisant, une implication non vide peut devenir une implication vide. Par exemple, nous savons que implique x 225 pour tout nombre réel x ; en le spécialisant au nombre réel 3, on obtient l'implication vide que 3 5 implique 3 225 .x5x225x353225

La façon dont j'aime penser l'implication matérielle est la suivante: l'affirmation que A implique B signifie simplement que «B est au moins aussi vrai que A». En particulier, si A est vrai, alors B doit être vrai aussi; mais si A est faux, alors l'implication matérielle permet à B d'être vrai ou faux, et donc l'implication est vraie quelle que soit la valeur de vérité de B.

Hatchepsout
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Cette déclaration semble agréable jusqu'à ce que vous réalisiez que l'intuition qu'elle invoque n'est pas vraie. Pensez à quelque chose comme "Si des extraterrestres parcourent la Terre alors je suis un extraterrestre" ... Je serais beaucoup plus enclin à croire que des extraterrestres parcourent la Terre que que moi-même je suis un extraterrestre ...
Mehrdad
1
"Si des extraterrestres parcourent la Terre, alors je suis un extraterrestre" n'est pas une véritable implication; c'est-à-dire que q ne découle pas de p ordinairement. C'est différent de si p est faux, l'implication est vraie
eques
@Mehrdad ne devrait-il pas être "Si je suis un étranger, alors les étrangers parcourent la Terre"?
Paŭlo Ebermann
@eques: "Si le soleil se lève demain alors je me lève le matin" ... Je parie que si le soleil ne se lève pas demain je me lève toujours le matin (sauf autres effets de la disparition du soleil ). Mais les gens disent des trucs comme ça de toute façon.
Mehrdad
Les gens de @Mehrdad disent des choses qui ne sont pas logiquement rigoureuses tout le temps; cela ne signifie pas que les règles de la logique ne sont pas bonnes. Et si quelqu'un se lève encore le matin même si le soleil ne s'est pas levé, il n'a pas contré leur implication. L'implication est toujours vraie
eques
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"A implique B" signifie (court) "si A est vrai alors B est vrai".

Cela signifie (un peu plus longtemps) "si A est vrai, alors je prétends que B est vrai; si A est faux, je ne fais aucune déclaration à propos de B".

Prenez maintenant "Si le soleil est vert, l'herbe est verte".

Dans sa forme longue, cela se traduit par "Si le soleil est vert, je prétends que l'herbe est verte; si le soleil n'est pas vert, je ne fais aucune déclaration sur la couleur de l'herbe". Le soleil n'est pas vert, je ne fais donc aucune déclaration sur la couleur de l'herbe.

gnasher729
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Donc, si vous ne faites aucune réclamation concernant l'herbe, cela signifie que tout est vrai pour l'herbe ... mais comment cela équivaut-il à "Je ne fais aucune réclamation envers l'herbe"?
yoyo_fun
L'opérateur logique «implicite» peut-il être modélisé à l'aide d'ensembles comme les autres opérateurs?
yoyo_fun
1
@yoyo_fun est équivalent à ¬ A B et vous pouvez le modéliser de la même manière. AB¬AB
Hobbs
1
@yoyo_fun Ne rien prétendre de l'herbe ne veut pas dire que tout se passe. l'herbe est vraie! (L'herbe est vivante; l'herbe est morte ne peut pas être vraie à la fois.) Dans le contexte, cela signifie: "Si le soleil n'est pas vert, alors la déclaration originale ne nous donne aucune information sur l'herbe."
jpaugh
6

Prenons un exemple. Supposons que nous voulons exprimer que est le seul élément de l'ensemble S qui satisfait la propriété P . On peut alors écrire x SaSP Ceci indique que tout élément de x qui satisfait P doit être égal à a . Il ne prétend rien suréléments ne correspondant pas P . Si b ne satisfait pas P et est différent de a alors P ( b ) est faux et b = a est faux, et donc P ( b ) b = a est vrai, tout comme dans votre exemple.

xSP(x)x=a
xPaPbPaP(b)b=aP(b)b=a
Yuval Filmus
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3
Je pense que c'est la meilleure réponse. À titre d'exemple: l'affirmation "si un animal est un chat, alors c'est un mammifère" est vraie même s'il existe des animaux qui sont des mammifères mais pas des chats, et des animaux qui ne sont ni des chats ni des mammifères.
jadhachem
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Il est important de noter que de nombreuses formes de logique n'ont aucun concept de chronologie ou de causalité. Si quelque chose est vrai, alors - dans son contexte - cela aura été et continuera d'être vrai pour toujours. Dire que X implique Y ne signifie en aucun cas que X fera en sorte que Y soit vrai. Cela signifie simplement que X ne peut pas être vrai sans que Y soit également vrai, et Y ne peut pas être faux sans que X soit également faux.

Pour décrire utilement les relations causales dans le monde réel, il faut quelque chose au-delà des constructions utilisées dans la logique «intemporelle». Un concept comme « Pour toute action Y tel que X ne provoque Y être raisonnable, Y est considérée comme raisonnable » peut être utile dans un univers de cause à effet , même si X est peut - être faux, mais l'opérateur d'implication explose complètement dans de tels cas. Si l'on devait dire "X implique que Y sera réputé raisonnable" et qu'il s'avérait que X n'était jamais vrai, cela impliquerait que toutes les actions soient jugées raisonnables.

Je ne sais pas quelles formes de logique incluent les constructions nécessaires pour permettre des déclarations impliquant une causalité à sens unique, mais reconnaître que la définition logique de "implique" ne reconnaît pas les concepts de temps et de causalité devrait permettre de comprendre plus facilement pourquoi ils se comportent de manière contre-intuitive.

supercat
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1

En utilisant Implication In English, il ne s'agit pas des choses ou des objets que nous considérons.

Comme dans votre exemple donné qui vous souffle, c'est que si le est g r e e n puis g r a s s est g r e e n .sungreengrassgreen

Le soleil est juste un objet ici, n'y attachez aucune émotion, qu'un soleil ne peut pas être vert.

Vous pouvez simplement remplacer le soleil avec un livre ou une lettre , vert avec G et herbe avec G G . Maintenant, voyez la phrase Si le S est G alors GG est G.SGGG

{{S-> G} {GG-> G}}>

Cela semble alors moins déroutant lors de l'écriture en anglais.

iambruv
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Qu'est-ce que «l'attachement émotionnel» a à voir avec quoi que ce soit? Et comment l'orthographe des objets a-t-elle répondu différemment à la question?
Courses de légèreté avec Monica
@LightnessRacesinOrbit C'est juste pour certains étudiants qu'ils voient les choses émotionnellement plutôt que d'être orientés vers la logique. Et je suis désolé quelle orthographe est erronée ??
iambruv
Je n'ai pas dit que votre orthographe était erronée. Je demande pourquoi le fait de répéter «soleil» comme S, «vert» comme Get «herbe» comme GGchange quoi que ce soit.
Courses de légèreté avec Monica
@LightnessRacesinOrbit Oh, c'est juste pour convaincre, rien de plus. Je préfère donc utiliser ce genre de symbole pour me faire une idée d'arrêter de visualiser comment tous les crayons sont liés à l'oiseau, car ce ne sont que des objets sans signification avec un crayon ou un oiseau.
iambruv
Oui, je ne vois toujours pas comment cela répond à la question, mais d'accord
Lightness Races avec Monica
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Pour mettre votre tête au bon endroit pour ma réponse, je veux mentionner ce que j'aime appeler le théorème des singes volants, ou ce que Wikipedia aime appeler le principe d'explosion , qui dit:

(p¬p)q

2+2=4 2+2=54=50=116=251=01=1en abusant d'une division cachée par zéro , car vous n'êtes pas autorisé à diviser par zéro afin de pouvoir réaliser tout ce que vous voulez.


pFTFF

durron597
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Je n'achète pas cet argument. Vous dites qu'en écrivantPQ où nous savons P pour être faux, nous parlons d'une réalité alternative où Q pourrait être vrai. Si tel est le cas, pourquoi supposez-vous alors queQ est vrai dans cette réalité alternative? Cela semble philosophiquement insatisfaisant. En outre, l'ensemble de la configuration de la «réalité alternative» contredit complètement la sémantique formelle des logiques: la vérité ou la fausseté d'une formule dans un modèle particulier est déterminée par rapport à ce modèle , et non par rapport à un autre modèle imaginé par le lecteur.
David Richerby
@DavidRicherby let r=¬q. Clairement(p¬p)q is just as valid as (p¬p)r. From falsehood, anything follows, including another contradiction.
durron597