Dériver les équations de Sobel à partir de dérivés

De nombreux sites donnent aux opérateurs Sobel le masque de convolution pour lisser une image. Cependant, je n'ai trouvé aucun site décrivant comment vous pouvez dériver les opérateurs à partir de premières dérivées partielles. Si quelqu'un peut expliquer la dérivation, je l'apprécierais grandement.

L'opérateur Sobel est une approximation de la dérivée dans la dimension X suivie d'un opérateur de lissage simple dans la dimension Y. (Ou dérivée dans la dimension Y puis lissée dans X).

Considérons un signal unidimensionnel $f(t)$. La dérivée de$f(t)$, peut s'écrire:$d f(t) / dt$

$$\lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{f(t+\Delta) - f(t-\Delta)}{2\Delta}$$

C'est ce qu'on appelle la formule de différence centrée .

Mais avec un signal discret, le plus petit $\Delta$ vous disposez est la distance entre les échantillons, vous l'utilisez donc comme approximation de la limite.

Nous pouvons voir à quel point une approximation est mauvaise (ou bonne) en regardant ce qu'elle fait à un signal exponentiel complexe . Le vrai dérivé donnerait . L'approximation donne donc extrêmement précis avec des basses fréquences ( près de 0), mais de plus en plus imprécis à mesure que approche de la fréquence de Nyquist ($e^{\omega i t}$$\omega i e^{\omega i t}$

$$\frac{e^{\omega i (t+1)} - e^{\omega i (t-1)}}{2} = \frac{e^{\omega i}e^{\omega i t}-e^{-\omega i}e^{\omega i t}}{2} = \frac{e^{\omega i} - e^{-\omega i}}{2}e^{\omega i t} = i \sin(\omega)e^{\omega i t}$$ $\omega$$\omega$$\omega \rightarrow \pi$). C'est à peu près le meilleur que vous puissiez faire avec trois échantillons. Il présente également l'avantage d'atténuer la réponse haute fréquence plutôt que de sur-amplifier.

Faisons maintenant un peu de lissage dans la dimension Y. Nous voulons quelque chose qui n'utilise que 3 points, et le meilleur que vous obtiendrez est . Ce filtre a une réponse en fréquence: qui passe en douceur du passage des basses fréquences à l'atténuation complète des hautes fréquences.$\frac{1}{4}f(t-\Delta) + \frac{1}{2}f(t) + \frac{1}{4}f(t+\Delta)$

$$\frac{1}{4}e^{\omega i (t - \Delta)} + \frac{1}{2}e^{\omega i t} + \frac{1}{4}e^{\omega i (t + \Delta)} = \frac{1}{2}(1 + \frac{e^{-\omega i \Delta}+e^{\omega i \Delta}}{2})e^{\omega i t} = \frac{1}{2}(1 + \cos \omega)e^{\omega i t}$$

Alors convoluez l'approximation dérivée dans la dimension X avec le plus lisse dans la dimension Y et vous obtenez le noyau:

$$\frac{1}{8} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right].$$