Dériver les équations de Sobel à partir de dérivés

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De nombreux sites donnent aux opérateurs Sobel le masque de convolution pour lisser une image. Cependant, je n'ai trouvé aucun site décrivant comment vous pouvez dériver les opérateurs à partir de premières dérivées partielles. Si quelqu'un peut expliquer la dérivation, je l'apprécierais grandement.

Quanquan Liu
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Réponses:

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L'opérateur Sobel est une approximation de la dérivée dans la dimension X suivie d'un opérateur de lissage simple dans la dimension Y. (Ou dérivée dans la dimension Y puis lissée dans X).

Considérons un signal unidimensionnel F(t). La dérivée deF(t), peut s'écrire:F(t)/t

limΔ0F(t+Δ)-F(t-Δ)2Δ

C'est ce qu'on appelle la formule de différence centrée .

Mais avec un signal discret, le plus petit Δ vous disposez est la distance entre les échantillons, vous l'utilisez donc comme approximation de la limite.

Nous pouvons voir à quel point une approximation est mauvaise (ou bonne) en regardant ce qu'elle fait à un signal exponentiel complexe . Le vrai dérivé donnerait . L'approximation donne donc extrêmement précis avec des basses fréquences ( près de 0), mais de plus en plus imprécis à mesure que approche de la fréquence de Nyquist (eωjetωjeeωjet

eωje(t+1)-eωje(t-1)2=eωjeeωjet-e-ωjeeωjet2=eωje-e-ωje2eωjet=jepéché(ω)eωjet
ωωωπ). C'est à peu près le meilleur que vous puissiez faire avec trois échantillons. Il présente également l'avantage d'atténuer la réponse haute fréquence plutôt que de sur-amplifier.

Faisons maintenant un peu de lissage dans la dimension Y. Nous voulons quelque chose qui n'utilise que 3 points, et le meilleur que vous obtiendrez est . Ce filtre a une réponse en fréquence: qui passe en douceur du passage des basses fréquences à l'atténuation complète des hautes fréquences.14F(t-Δ)+12F(t)+14F(t+Δ)

14eωje(t-Δ)+12eωjet+14eωje(t+Δ)=12(1+e-ωjeΔ+eωjeΔ2)eωjet=12(1+cosω)eωjet

Alors convoluez l'approximation dérivée dans la dimension X avec le plus lisse dans la dimension Y et vous obtenez le noyau:

18[10-120-210-1].
Logique errante
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