Raisons des hypothèses pour la fonction de distribution de microfacet?

L'article Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces (entre autres) nous rappelle les hypothèses suivantes sur la fonction de distribution des microfacets D:

1. La densité des microfacettes est évaluée positivement
2. La surface totale de la microsurface est au moins aussi grande que la surface de la macrosurface correspondante
3. La zone projetée (signée) de la microsurface est la même que la zone projetée de la macrosurface pour n'importe quelle direction v

Je peux voir pourquoi 1) une densité de distribution est une valeur positive, et je pense intuitivement que 2) signifie que la surface totale des microfacets inclinés ne peut pas être plus petite que leur projection.
Cependant, je ne suis pas sûr de comprendre la justification de 3). Que signifie la troisième condition?

$v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

Maintenant, divisez la macrosurface en microfacets. La superficie totale des microfacets est au moins aussi élevée (hypothèse 2), mais chaque «pli» dans la surface éloigne les normales des microfacets séparés de la normale d'origine. Quelle que soit la forme des microfacets, la somme de leurs surfaces projetées ne change pas. Dans le cas où vous regardez le long de la normale, il est facile de voir que la surface totale projetée est la même: la surface devrait être plus ou moins grande pour qu'elle change.

Pour n'importe quelle direction, le microfacet doit couvrir une partie de la zone projetée d'origine de la surface. Changer l'orientation du microfacet tout en remplissant cette portion ne change pas sa zone projetée.

Il y a un cas délicat, où les microfacets se surplombent. Dans ce cas, la surface totale est plus grande, car certaines zones sont couvertes par plusieurs microfacettes. Mais dans ce cas, au moins l'un des microfacets doit finir par pointer loin de la direction de la vue, pour revenir dans la surface. Dans ce cas, le produit scalaire est négatif, ce qui annule la zone couverte par plus d'un microfacet. C'est pourquoi le texte prend soin de souligner qu'il s'agit de la zone projetée signée .

Il y a un autre cas délicat, où les microfacets s'étendent au-delà de la silhouette de l'objet. Cela peut se produire lorsque vous regardez sous des angles très brillants ou lorsque des facettes en surplomb dépassent en dehors du périmètre de la surface. Dans ce cas, la zone projetée des microfacets sera plus grande, violant la troisième hypothèse. Nous ne considérons généralement pas ce cas. Intuitivement, cela correspond au fait que des techniques telles que le bump-mapping ne modifient pas la forme de la silhouette de l'objet.