La séquence de Lehmer-Comtet est une séquence telle que a (n) est la n ième dérivée de f (x) = x ^x par rapport à x comme évalué à x = 1 .

Tâche

Prenez un entier non négatif en entrée et sortez le n ème terme de la séquence de Lehmer-Comtet.

Il s'agit de code-golf , vous devez donc minimiser la taille du fichier de votre code source.

Cas de test

OEIS 5727

Voici les premiers termes du couple dans l'ordre (copié de l'OEIS)

1, 1, 2, 3, 8, 10, 54, -42, 944, -5112, 47160, -419760, 4297512, -47607144, 575023344, -7500202920, 105180931200, -1578296510400, 25238664189504, -428528786243904, 7700297625889920, -146004847062359040, 2913398154375730560, -61031188196889482880

Haskell , 77 75 octets, aucune intégration de différenciation

x@(a:b)&y@(c:d)=a*c:zipWith(+)(b&y)(x&d)
s=1:s&(1:scanl(*)1[-1,-2..])
(s!!)

Essayez-le en ligne!

Comment ça fonctionne

Nous représentons une fonction comme sa liste infinie de coefficients de la série de Taylor sur x = 1: f ( x ) = ∑ _{n = 0} ^∞ f ^{( n )} ( x - 1) ⁿ / n ! est représenté par [f (1), f ′ (1), f ″ (1),…].

L' &opérateur multiplie deux de ces fonctions à l'aide de la règle de produit. Cela nous permet de définir récursivement la fonction s ( x ) = x ^x en termes d'elle-même en utilisant l'équation différentielle s (1) = 1, s ′ ( x ) = s ( x ) ⋅ (1 + ln x ), où ln x = ∑ _{n = 1} ^∞ (−1) ^{n - 1} ( n - 1)! ( X - 1) ⁿ / n !.

Mathematica, 19 octets

D[x^x,{x,#-1}]/.x->1&

-18 octets de @Pas un arbre

Octave avec package symbolique, 36 32 octets

syms x
@(n)subs(diff(x^x,n),x,1)

Le code définit une fonction anonyme qui génère une variable symbolique avec le résultat.

Essayez-le en ligne!

Haskell , 57 octets

f 0=1
f n=f(n-1)-foldl(\a k->f(k-1)/(1-n/k)-a*k)0[1..n-1]

Essayez-le en ligne!

Aucun intégré pour différencier ou algèbre. Les sorties flottent.

Python avec SymPy , 77 75 58 57 octets

1 octet enregistré grâce à @notjagan

17 octets enregistrés grâce à @AndersKaseorg

from sympy import*
lambda n:diff('x^x','x',n).subs('x',1)

SageMath , 33 32 octets

lambda n:diff(x^x,x,n).subs(x=1)

Essayez-le sur SageMathCell

Python 3 , 150 octets

lambda n:0**n or sum(L(n-1,r)for r in range(n))
L=lambda n,r:0<=r<=n and(0**n or n*L(n-2,r-1)+L(~-n,r-1)+(r-~-n)*L(~-n,r)if r else n<2or-~-n*L(n-1,0))

Essayez-le en ligne!

Complexité d'exécution exponentielle. Utilise la formule donnée dans la page OEIS.

Python3 + mpmath 52 octets

from mpmath import*
lambda n:diff(lambda x:x**x,1,n)

-3 octets, merci @Zachary T

Python 3 , 288 261 octets

Différenciation sans différenciation intégrée.

p=lambda a,n:lambda v:v and p(a*n,n-1)or a
l=lambda v:v and p(1,-1)
e=lambda v:v and m(e,a(p(1,0),l))or 1
a=lambda f,g:lambda v:v and a(f(1),g(1))or f(0)+g(0)
m=lambda f,g:lambda v:v and a(m(f(1),g),m(g(1),f))or f(0)*g(0)
L=lambda n,f=e:n and L(n-1,f(1))or f(0)

Essayez-le en ligne!

Comment ça fonctionne

Chacune des cinq premières lignes définit les fonctions et leurs dérivés et leurs résultats lorsqu'ils sont évalués à 1. Leurs dérivés sont également des fonctions.

• p est le pouvoir ie a*x^n
• l est le logarithme ie ln(x)
• e est exponentielle c'est-à-dire exp(x)
• a est l'addition ie f(x)+g(x)
• m est la multiplication ie f(x)*g(x)

Utilisation: par exemple, exp(ln(x)+3x^2)serait représenté par e(l()+p(3,2)). Soit x=e(l()+p(3,2)). Pour trouver sa dérivée, appelez x(1). Pour trouver son résultat une fois évalué à 1, appelez x(0).

Bonus: différenciation symbolique

Pari / GP , 34 octets

n->n!*Vec((1+x+O(x^n++))^(1+x))[n]

Essayez-le en ligne!