P i = = 3 .2

37

Inspiré par cette vidéo de Infinite Series .

introduction

Pi est défini comme le rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle. Mais comment définit-on un cercle? Habituellement, un cercle est défini comme les points avec une distance constante au centre (supposons que le centre est à (0,0)). La prochaine question serait: comment définissons-nous la distance ? Dans ce qui suit, nous examinons différentes notions de distances (induites par les Lp-norms):

Étant donné une norme (= quelque chose qui mesure une longueur ), nous pouvons facilement construire une distance (= distance entre deux points) comme suit:

dist(A,B) := norm (A-B)

La norme euclidienne est donnée par:

norm((x,y)) = (x^2 + y^2)^(1/2)

Ceci est aussi appelé la norme L2 . Les autres normes Lp sont construites en remplaçant la 2formule ci-dessus par d'autres valeurs comprises entre 1 et l'infini:

norm_p((x,y)) = (|x|^p + |y|^p)^(1/p)

Les cercles unitaires de ces différentes normes ont des formes bien distinctes:

Défi

Soit a p >= 1, calcule le rapport circonférence / diamètre d'un cercle Lp par rapport à la Lpnorme avec une précision de quatre chiffres significatifs.

Testcases

Nous pouvons utiliser cela car p,qavec 1 = 1/p + 1/qnous obtenons le même ratio pour le Lpaussi bien que pour la Lqnorme. De plus, p = q = 2le ratio est minimal et p = 1, q = infinitynous obtenons un ratio de 4, donc les ratios sont toujours compris entre piet 4.

p   or  q            ratio
1       infinity     4
2       2            3.141592
1.623   2.60513      3.200
1.5     3            3.25976
4       1.33333      3.39693
flawr
la source
2
Les formes sont appelées courbes de Lamé ou superellipses et existent aussi pour 0 < p <1, même si la norme elle-même ne le fait pas (car elle viole l'inégalité du triangle). L'article de Wikipedia pour la superellipse comprend un formulaire fermé pour la région.
Neil
@Neil Nous devons toutefois tenir compte de la circonférence, et non de la zone, qui - pour autant que je sache - ne peut être calculée que via une intégrale de longueur d'arc.
Flawr
7
Désolé, au moment où j'avais fini de les lire, j'avais oublié ce que la question avait demandé.
Neil
2
Beau défi!
Luis Mendo
1
Il est intéressant de noter que la formule de surface ( A = πr²) ne tient pas pourp ≠ 2
Mego

Réponses:

12

Python + scipy, 92 octets

from scipy.integrate import*
lambda p:2/p*quad(lambda x:(x/x**p+(1-x)**(1-p))**(1/p),0,1)[0]

La formule est de cette question math.SE .

orlp
la source
Lors du test d'une implémentation avec cette approche, j'ai eu des problèmes avec la convergence de cette approche, en raison de la singularité de x=1, comment se présente votre soumission?
flawr
Scipy ne fait pas partie de la bibliothèque standard Python. Peut-être passer à Sage?
busukxuan
2
@busukxuan Il n'y a aucune exigence sur PPCG qui vous permet d'utiliser uniquement des bibliothèques standard. Mais je le mentionnerai quand même dans le titre.
Orlp
1
@ChristianSievers J'ai fait ma propre intégration pour éviter de me sentir mal d'avoir utilisé la formule fermée de quelqu'un d'autre :-P
Luis Mendo
1
En fait , je @ChristianSievers inclus aussi une autre formla dans le bac à sable, au cas où vous = intéressés)
flawr
10

MATL , 31 octets

0:1e-3:1lyG^-lG/^v!d|G^!slG/^sE

Essayez-le en ligne! Ou vérifiez tous les cas de test .

Explication

Cela génère les coordonnées x , y d'un quart du cercle unitaire échantillonné à 1001 points à l'étape 0.001 dans x . La longueur du quart de cercle est approximée par celle de la ligne polygonale passant par ces points; c'est-à-dire la somme des longueurs des 1000 segments. La longueur est bien sûr calculée en fonction de p-norm. En multipliant le résultat par 2, on obtient la longueur approximative d'un demi-cercle, c'est-à-dire, pi.

0:1e-3:1   % Push [0 0.001 0.002 ... 0.999 1]. These are the x coordinates of
           % the vertices of the polygonal line that will approximate a quarter
           % of the unit circle
l          % Push 1
y          % Duplicate [0 0.001 0.002 ... 0.999 1] onto the top of the stack.
G          % Push input, p
^          % Element-wise power: gives [0^p 0.001^p ... 1^p]
-          % Element-wise subtract from 1: gives [1-0^p 1-0.001^p ... 1-1^p]
lG/        % Push 1, push p, divide: gives 1/p
^          % Element-wise power: gives [(1-0^p)^(1/p) (1-0.001^p)^(1/p) ...
           % ... (1-1^p)^(1/p)]. These are the y coordinates of the vertices
           % of the polygonal line
v          % Concatenate vertically into a 2×1001 matrix. The first row contains
           % the x coordinates and the second row contains the y coordinates
!          % Transpose
d|         % Compute consecutive differences down each column. This gives a
           % 1000×2 matrix with the x and y increments of each segment. These
           % increments will be referred to as Δx, Δy
G          % Push p
^          % Element-wise power
!          % Transpose
s          % Sum of each column. This gives a 1×1000 vector containing
           % (Δx)^p+(Δy)^p for each segment
lG/        % Push 1/p
^          % Element-wise power. This gives a 1×1000 vector containing 
           % ((Δx)^p+(Δy)^p)^(1/p) for each segment, that is, the length of 
           % each segment according to p-norm
s          % Sum the lenghts of all segments. This approximates the length of
           % a quarter of the unit circle
E          % Multiply by 2. This gives the length of half unit circle, that is,
           % pi. Implicitly display
Luis Mendo
la source
8

Mathematica, 49 46 octets

3 octets enregistrés à cause d' alephalpha .

2NIntegrate[(1+(a^-#-1)^(1-#))^(1/#),{a,0,1}]&

Fonction anonyme. Prend un nombre en entrée et retourne un nombre en sortie.

LegionMammal978
la source
1
2NIntegrate[(1+(a^-#-1)^(1-#))^(1/#),{a,0,1}]&
Alephalpha
5

PARI / GP, 48 43 octets

C'est facile après que @orlp ait trouvé la formule et que la version de @ alephalpha enregistre 5 octets:

p->2*intnum(u=0,1,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p))

Pour ajouter quelque chose de légèrement utile, calculons le ppour lequel on obtient 3.2:

? f=p->2*intnum(u=0,1,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p));
? solve(p=1,2,f(p)-3.2)
%2 = 1.623002382384469009676324702

Usage correct

Bien que le code donne des résultats beaucoup plus précis que les exigences du challenge, il peut facilement être beaucoup amélioré: si nous remplaçons la limite d'intégration supérieure 1par [1,1/p-1](en donnant ce que le manuel appelle l'exposant de singularité), tous les chiffres indiqués sont d' f(2)accord Pi. Cela reste vrai si nous augmentons la précision à 100 (type \p100).

Cependant, après ce changement, le solvecalcul ne fonctionnait plus. J'ai changé le terme interne pour gérer explicitement le cas u=0et j'ai également changé pour un ordinateur différent avec une version plus récente de PARI et 64 bits (ce qui implique une précision par défaut plus élevée).

Voici le calcul amélioré de la pvaleur pour Pi=3.2, et regardons aussi le vrai Pi:

? f=p->2*intnum(u=0,[1,1/p-1],if(u,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p),0));
? f(2)
%2 = 3.1415926535897932384626433832795028842
? Pi
%3 = 3.1415926535897932384626433832795028842
? solve(p=1,2,f(p)-3.2)
%4 = 1.6230023823844690096763253745604419761
Christian Sievers
la source
p->2*intnum(u=0,1,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p))
Alephalpha
0

JavaScript (ES7), 80 octets

Basé sur la réponse de orlp . Cette implémentation de JS est assez lente. Vous voudrez peut-être essayer i=1e-7(ou même plus haut) une approximation plus rapide.

Remarque : il s’agit essentiellement de Chrome et Edge uniquement. Une version ES6 équivalente utilisant Math.pow()Firefox 50.1 semble être beaucoup plus lente.

Edit : Selon Neil, cela devrait également fonctionner correctement sur Firefox 52.

f=
p=>{for(i=5e-8,s=x=0;(x+=i)<1;)s+=i*(x**(1-p)+(1-x)**(1-p))**(1/p);return 2/p*s}

console.log(f(1).toFixed(3))
console.log(f(2).toFixed(3))
console.log(f(1.623).toFixed(3))

Arnauld
la source
La version ES7 semblait assez vive lorsque je l'ai essayée avec Firefox 52 (je ne l'avais pas mesurée de manière scientifique, mais la vitesse était à peu près équivalente à celle de Chrome; Edge s'est figé sur moi).
Neil
@Neil Merci pour vos commentaires. Mis à jour en conséquence.
Arnauld