Si

Supposons la configuration suivante:
Soit $Z_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n$ . Aussi $X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0$ . De plus $k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0<c<1$ ie $k_i$ est une combinaison convexe des limites des supports respectifs. $c$ est commun à tout $i$ .

Je pense avoir la bonne distribution de $Z_i$ : c'est une distribution mixte .
Il a une partie continue,

$$X_i \in [a_i, k_i), Z_i=X_i \Rightarrow \Pr(Z_i \le z_i) = \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}$$ puis une discontinuité et une partie discrète où concentrés de masse de probabilité:
$$\Pr(Z_i=k_i) = \Pr(X_i > k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i)$$ $$= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c$$

Donc, dans tous les

$$F_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i<a_i\\ \\ \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}\qquad a_i\le z_i<k_i \\ \\1\qquad k_i\le z_i\end{cases}$$

alors que pour la fonction mixte masse / densité "discrète / continue", elle est $0$ dehors de l'intervalle $[a_i, k_i]$ , elle a une partie continue qui est la densité d'un U uniforme (a_i, b_i)$U(a_i, b_i)$ , $\frac {1}{b_i-a_i}$ mais pour $a_i\le z_i<k_i$ , et il concentre la masse de probabilité positive $c >0$ à $z_i = k_i$ .

En somme, cela se résume à l'unité sur les réels.

Je voudrais pouvoir dériver ou dire quelque chose sur la distribution et / ou les moments de la variable aléatoire $S_n \equiv \sum_{i=1}^n Z_i$ , comme $n\rightarrow \infty$ .

Disons que si les sont indépendants, cela ressemble à comme . Puis-je "ignorer" cette partie, même en tant qu'approximation? Il me resterait alors une variable aléatoire qui se situe dans l'intervalle , ressemblant à la somme d'uniformes censurés, en passe de devenir "non censurés", et donc peut-être un théorème central limite ... mais je suis probablement en train de diverger plutôt que de converger ici, alors, des suggestions?$X_i$$\Pr(S_n = \sum_i^nk_i) = c^n \rightarrow 0$$n\rightarrow \infty$$[\sum_{i=1}^na_i,\; \sum_{i=1}^nk_i)$

PS: Cette question est pertinente, dérivant la distribution de la somme des variables censurées , mais la réponse de @Glen_b n'est pas ce dont j'ai besoin - je dois travailler cette chose analytiquement, même en utilisant des approximations. Il s'agit de recherche, alors veuillez le traiter comme des devoirs - les suggestions générales ou les références à la littérature sont assez bonnes.

Je suivrais le conseil d'Henry et vérifierais Lyapunov avec . Le fait que les distributions soient mixtes ne devrait pas être un problème, tant que les et se comportent correctement. La simulation du cas particulier dans lequel , , pour chaque montre que la normalité est correcte.$\delta=1$$a_i$$b_i$$a_i=0$$b_i=1$$k_i=2/3$$i\geq 1$

xbar <- replicate(10^4, mean(pmin(runif(10^4), 2/3)))
hist((xbar - mean(xbar)) / sd(xbar), breaks = "FD", freq = FALSE)
curve(dnorm, col = "blue", lwd = 2, add = TRUE)

Conseils:

En supposant que est fixe et que les sont indépendants, vous pouvez calculer la moyenne et la variance de chaque : par exemple et vous connaissez . $c$$X_i$$\mu_i$$\sigma_i^2$$Z_i$$\mu_i=E[ Z_i] = c\frac{a_i+k_i}{2} + (1-c)k_i$$k_i = ca_i + (1-c)b_i$

Ensuite, à condition que et n'augmentent pas trop rapidement, vous pouvez utiliser les conditions de Lyapunov ou Lindeberg pour appliquer le théorème de la limite centrale en concluant que converge en distribution vers une normale standard, ou dans un sens de la main est approximativement normalement distribué avec la moyenne et variance .$a_i$$b_i$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sum_1^n \sigma_i^2}}\left(\sum_1^n Z_i - \sum_1^n \mu_i\right)$$\sum_1^n Z_i$$\sum_1^n \mu_i$$\sum_1^n \sigma_i^2$

Ma principale préoccupation dans cette question était de savoir si l'on pouvait appliquer le CLT "comme d'habitude" dans le cas que j'examine. L'utilisateur @Henry a affirmé que c'était possible, l'utilisateur @Zen l'a montré à travers une simulation. Ainsi encouragé, je vais maintenant le prouver analytiquement.

Ce que je vais faire en premier est de vérifier que cette variable avec la distribution mixte a une fonction de génération de moment "habituelle". On note la valeur attendue de , son écart - type et la version centrée et mise à l' échelle de par . En appliquant la formule de changement de variable, nous constatons que la partie continue est La fonction de génération de moment de devrait être $\mu_i$$Z_i$$\sigma_i$$Z_i$$\tilde Z_i = \frac {Z_i-\mu_i}{\sigma_i}$

$$f_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \sigma_if_Z(z_i) = \frac {\sigma_i}{b_i-a_i}$$ $\tilde Z_i$ $$\tilde M_i(t) = E(e^{\tilde z_it}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tilde z_it}dF_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \int_{\tilde a_i}^{\tilde k_i}\frac{\sigma_ie^{\tilde z_it}}{b_i-a_i}dz_i + ce^{\tilde k_it}$$

$$\Rightarrow \tilde M_i(t)=\frac {\sigma_i}{b_i-a_i}\frac{e^{\tilde k_it}-e^{\tilde a_it}}{t} +ce^{\tilde k_it}$$ avec $$\tilde k_i = \frac {k_i-\mu_i}{\sigma_i},\;\; \tilde a_i = \frac {a_i-\mu_i}{\sigma_i}$$

En utilisant des nombres premiers pour désigner les dérivées, si nous avons correctement spécifié la fonction de génération de moment, nous devrions obtenir puisque cela est une variable aléatoire centrée et mise à l'échelle. Et en effet, en calculant des dérivées, en appliquant plusieurs fois la règle de L'Hopital (puisque la valeur du MGF à zéro doit être calculée par des limites), et en faisant des manipulations algébriques, j'ai vérifié les deux premières égalités. La troisième égalité s'est avérée trop fatigante, mais j'espère qu'elle tient.

$$\tilde M_i(0) = 1, \;\; \tilde M_i'(0) = E(\tilde Z) = 0 \Rightarrow \tilde M_i''(0) = E(\tilde Z_i^2) = \operatorname {Var}(\tilde Z_i)=1$$

Nous avons donc un MGF approprié. Si nous prenons son expansion de Taylor de second ordre autour de zéro, nous avons

$$\tilde M(t) = \tilde M(0) + \tilde M'(0)t +\frac 12\tilde M''(0)t^2 + o(t^2)$$

$$\Rightarrow \tilde M(t) = 1 + \frac 12t^2+ o(t^2)$$

Cela implique que la fonction caractéristique est (ici désigne l'unité imaginaire) .$i$

$$\tilde \phi(t) = 1 + \frac 12 (it)^2 + o(t^2)= 1 - \frac 12 t^2 + o(t^2)$$

Par les propriétés de la fonction caractéristique , nous avons que la fonction caractéristique de est égale à$\tilde Z/\sqrt n$

$$\tilde \phi_{\tilde Z/\sqrt n}(t)=\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n) = 1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)$$

et comme nous avons des variables aléatoires indépendantes, la fonction caractéristique de est$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i$

$$\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t)= \prod_{i=1}^n\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n)=\prod_{i=1}^n\left(1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)\right)$$

alors

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1 - \frac {t^2}{2n}\right)^n = e^{-t^2/2}$$

par la façon dont le nombre est représenté$e$ . Il se trouve que le dernier terme est la fonction caractéristique de la distribution normale standard, et par le théorème de continuité de Levy , nous avons que

$$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i \xrightarrow{d} N(0,1)$$

qui est le CLT. Notez que le fait que les variables ne soient pas distribuées de manière identique, a «disparu» de la vue une fois que nous avons considéré leurs versions centrées et mises à l'échelle et considéré l'expansion Taylor de second ordre de leur MGF / CHF: à ce niveau d'approximation, ces fonctions sont identiques et toutes les différences sont compactées dans les termes restants qui disparaissent asymptotiquement. $Z$

Le fait que le comportement idiosyncratique au niveau individuel, de tous les éléments individuels, disparaisse néanmoins lorsque nous considérons le comportement moyen, je pense qu'il est très bien présenté en utilisant une créature méchante comme une variable aléatoire ayant une distribution mixte.