Pourquoi la distribution géométrique et la distribution hypergéométrique sont-elles appelées comme telles?

Oui, les termes se réfèrent aux fonctions de masse de probabilité (pmfs).

Il y a 2500 ans, Euclide (dans les livres VIII et IV de ses Éléments ) a étudié des séquences de longueurs ayant des proportions communes.. À un certain point, de telles séquences sont devenues des "progressions géométriques" (bien que le terme "géométrique" ait pu, pour une raison similaire, être appliqué aussi facilement à de nombreuses autres séries régulières, y compris celles maintenant appelées "arithmétique").

La fonction de masse de probabilité d'une distribution géométrique avec le paramètre forme une progression géométrique $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Ici, la proportion commune est de . $1-p$

Il y a plusieurs centaines d'années, une vaste généralisation de ces progressions est devenue importante dans les études des courbes elliptiques, des équations différentielles et de nombreux autres domaines mathématiques profondément interconnectés. La généralisation suppose que les proportions relatives entre termes successifs aux positions et pourraient varier, mais elle limite la nature de cette variation: les proportions doivent être une fonction rationnelle donnée de . Parce que ceux-ci vont "au-dessus" ou "au-delà" de la progression géométrique (pour laquelle la fonction rationnelle est constante), ils ont été appelés hypergéométriques à partir du préfixe grec ancien $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ("hyper").

La fonction de masse de probabilité d'une fonction hypergéométrique avec des paramètres et a la forme $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

pour approprié . Le rapport des probabilités successives est donc égal à $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

une fonction rationnelle de de degré $k$ . Cela place les probabilités dans une (forme particulière) de progression hypergéométrique. $(2,2)$

whuber
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Merci! Existe-t-il d'autres distributions dont les pmfs forment également des progressions géométriques ou hypergéométriques?

Tim

Si un pmf forme une progression géométrique, il doit s'agir d'une distribution géométrique décalée, redimensionnée et / ou tronquée. S'il forme une progression hypergéométrique de degré (2,2), une conclusion similaire est valable. Il existe des distributions associées à toute série qui se résume à une valeur finie, et donc la distribution hypergéométrique se généralise à de nombreuses autres distributions (en utilisant différentes fonctions rationnelles). La plupart d'entre eux n'ont pas de nom. Une exception est la distribution binomiale négative dont le pmf est hypergéométrique de degré (1,1).

whuber

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

Oui, c'est une fonction rationnelle du degré (0,1), donc cela correspond à la définition générale d'une progression hypergéométrique.

whuber

Pourquoi la distribution géométrique et la distribution hypergéométrique sont-elles appelées comme telles?

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