Quel est le sens intuitif derrière le but et la mécanique des statistiques suffisantes?

La définition d'une statistique suffisante est: Soit $X_1,...,X_n$ être un échantillon aléatoire d'une distribution indexée par un paramètre $\theta$. Laisser$T$être une statistique. Supposons que, pour chaque$\theta$ et toutes les valeurs possibles $t$ de $T$, la distribution conjointe conditionnelle de $X_1,...,X_n$ étant donné que $T=t$ ne dépend que de $t$ mais pas sur $\theta$. Alors,$T$ est une statistique suffisante pour le paramètre $\theta$.

J'ai l'impression de connaître plusieurs pièces du puzzle (comme le théorème de factorisation) pour comprendre des statistiques suffisantes mais je n'ai pas la théorie globale en panne.

Mes principales questions sont:

1) Pourquoi disent-ils que $T$est une statistique suffisante pour le paramètre$\theta$? Si$\theta$ étaient la moyenne de la population d'une distribution normale, disons $\mu$, cela signifie-t-il que chaque fois que nous voulons trouver la probabilité, disons, $X_1,...,X_n$ se produisant d'une certaine manière, que nous n'avons pas besoin de la valeur de la moyenne de la population?

2) Dans la vie réelle, pourquoi voulons-nous utiliser une statistique suffisante? Il semble que le simple calcul de la statistique ne devrait pas représenter beaucoup de travail (comme la somme des X), alors pourquoi en avons-nous besoin?

Merci!

1. Non. Ce qu'ils disent c'est que $X_1^\prime,\dots,X_n^\prime$ est un autre échantillon aléatoire de la même population que les données d'origine $X_1,\dots,X_n$, il contient une quantité égale d'informations probabilistes sur $\theta$. Par conséquent, nous pouvons "récupérer les données" si nous conservons$T$ et jeter $X_1,\dots,X_n$. Voilà pourquoi$T$ est "su ffi cient".

2. Réduction de donnée. Si$T$ est su ffi sant, les «informations supplémentaires» $X$ est sans valeur tant que $θ$est concerné. Il est alors tout à fait naturel d'envisager des procédures d'inférence qui n'utilisent pas ces informations supplémentaires non pertinentes. Cela conduit au principe de suffisance: toute procédure d'inférence ne devrait dépendre des données que par le biais de statistiques su ffi santes.

Voir ici pour plus de détails sur les principes impliqués dans la réduction des données.