Expliquer la décomposition de Beveridge Nelson

Quelqu'un peut-il expliquer comment fonctionne la décomposition Beveridge-Nelson? Jusqu'à présent, tout ce que je sais, c'est qu'il estime les cycles de tendance dans les données de séries chronologiques non stationnaires.

J'ai regardé plusieurs articles de revues et je suis toujours confus sur la façon dont cela fonctionne http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

La décomposition de Beveridge-Nelson est une décomposition du processus . Un tel processus a une racine unitaire:$ARIMA(p,1,q)$

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

mais n'est pas un processus de bruit blanc, c'est un processus . Ce que Beveridge et Nelson ont observé dans leur article d'origine, c'est qu'il est possible de décomposer ce processus en deux parties:$u_t$$ARMA(p,q)$

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

où est maintenant une marche aléatoire "pure", c'est-à-dire , où est un processus de bruit blanc. Le terme est un autre processus stationnaire. Cette décomposition est l'identité algébrique (les détails ci-dessous), mais elle peut conduire à des interprétations intéressantes.$\tau_t$$\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$\xi_t$

La déclaration précise. Soit , où est un processus de bruit blanc et . alors$u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$$\varepsilon_t$$\sum j|\psi_j|<\infty$

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

où

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

Cette décomposition a une belle application, par exemple

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

où nous appliquons le théorème de la limite centrale pour le premier terme et observons que le deuxième terme va à zéro, en raison de la stationnarité (la moyenne est zéro et la variance du terme va à zéro, en raison de T dans le dénominateur).

Nous obtenons donc que le comportement limitant du processus ARIMA (p, 1, q) est simplement le même que pour un processus ARIMA (0,1,0). Ce fait est beaucoup utilisé dans la littérature des séries chronologiques. Par exemple, le test de racine unitaire de Phillips et Perron est basé sur lui.