Théorème de Gauss-Markov: BLEU et OLS

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Je lis sur le théorème de Guass-Markov sur wikipedia , et j'espérais que quelqu'un pourrait m'aider à comprendre le point principal du théorème.

Nous supposons qu'un modèle linéaire, sous forme de matrice, est donné par: et nous recherchons le BLEU, .β

y=Xβ+η
β^

Conformément à cela , je qualifierais "résiduel" et \ varepsilon = \ widehat \ beta - \ beta de "d'erreur". (C'est le contraire de l'usage sur la page Gauss-Markov).e = β - βη=yXβε=β^β

L'estimateur OLS (moindres carrés ordinaires) peut être dérivé comme l'argmin de ||residual||22=||η||22 .

Maintenant, notons E l'opérateur d'opération. À ma connaissance, ce que le théorème de Gauss-Markov nous dit est que, si E(η)=0 et Var(η)=σ2I , alors l'argmin, sur tout estimateurs linéaires et sans biais, de E(||error||22)=E(||ε||22) est donné par la même expression que le Estimateur OLS.

C'est-à-dire

argminβ^(y)||η||22=(XX)1Xy=argminlinear, unbiased β^(y)E(||ε||22)

Ma compréhension est-elle correcte? Et si oui, diriez-vous qu'il mérite une place plus importante dans l'article?

Patrick
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Réponses:

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Je ne sais pas si j'ai bien compris votre question, mais si vous cherchez à prouver que l'OLS pour est BLEU (meilleur estimateur linéaire sans biais), vous devez prouver les deux choses suivantes: d'abord ce est sans biais et en second lieu que est le plus petit parmi tous les estimateurs linéaires sans biais. β Var( β )β^β^Var(β^)

La preuve que l'estimateur OLS est non biaisé peut être trouvée ici http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

et la preuve que est le plus petit parmi tous les estimateurs linéaires sans biais peut être trouvée ici http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/Var(β^)

ProofGauss
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Les preuves sont utiles, oui.
Patrick
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Il semble que mon intuition était correcte, comme cela a été confirmé, par exemple à la page 375 du livre Introductory Econometrics . Extrait pertinent:

Extrait du livre

Patrick
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Veuillez écrire quelque chose de plus, car votre réponse pourrait être utile à d'autres à l'avenir.
Tim
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Glen_b -Reinstate Monica