Je pensais que je répondrais à un message autonome ici pour toute personne intéressée. Ce sera en utilisant la notation décrite ici .

introduction

L'idée derrière la rétropropagation est d'avoir un ensemble «d'exemples de formation» que nous utilisons pour former notre réseau. Chacun d'eux a une réponse connue, nous pouvons donc les brancher sur le réseau de neurones et trouver à quel point c'était faux.

Par exemple, avec la reconnaissance de l'écriture manuscrite, vous auriez beaucoup de caractères manuscrits à côté de ce qu'ils étaient réellement. Ensuite, le réseau de neurones peut être formé par rétropropagation pour «apprendre» à reconnaître chaque symbole, de sorte que lorsqu'il est ensuite présenté avec un caractère manuscrit inconnu, il peut identifier ce qu'il est correctement.

Plus précisément, nous introduisons un échantillon d'apprentissage dans le réseau neuronal, voyons à quel point cela a bien fonctionné, puis «ruisselons en arrière» pour trouver dans quelle mesure nous pouvons changer les poids et les biais de chaque nœud pour obtenir un meilleur résultat, puis les ajuster en conséquence. Alors que nous continuons à le faire, le réseau "apprend".

Il existe également d'autres étapes qui peuvent être incluses dans le processus de formation (par exemple, l'abandon), mais je me concentrerai principalement sur la rétropropagation, car c'est de cela qu'il s'agissait.

Dérivés partiels

Une dérivée partielle est une dérivée depar rapport à une variable. $\frac{\partial f}{\partial x}$ $f$ $x$

Par exemple, si , $f(x, y)=x^2 + y^2$ , carest simplement une constante par rapport à. De même, $\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ $y^2$ $x$ , carest simplement une constante par rapport à. $\frac{\partial f}{\partial y}= 2y$ $x^2$ $y$

Un gradient d'une fonction, désigné , est une fonction contenant la dérivée partielle pour chaque variable de f. Plus précisément: $\nabla f$

\nabla F (v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}) = \frac{\partial F}{\partial v_{1}} e_{1} + \dots + \frac{\partial F}{\partial v_{n}} e_{n}

$\nabla f(v_1, v_2, ..., v_n) = \frac{\partial f}{\partial v_1 }\mathbf{e}_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial v_n }\mathbf{e}_n$

où est un vecteur unitaire pointant dans la direction de la variable . $e_i$ $v_1$

Or, une fois que nous avons calculé la pour une certaine fonction , si nous sommes en position , on peut "glisser vers le bas" en allant dans la direction . $\nabla f$ $f$ $(v_1, v_2, ..., v_n)$ $f$ $-\nabla f(v_1, v_2, ..., v_n)$

Avec notre exemple de , les vecteurs unitaires sont et , car et , et ces vecteurs pointent dans la direction des axes et . Ainsi, $f(x, y)=x^2 + y^2$ $e_1=(1, 0)$ $e_2=(0, 1)$ $v_1=x$ $v_2=y$ $x$ $y$ $\nabla f(x, y) = 2x (1, 0) + 2y(0, 1)$ .

Maintenant, pour "faire glisser" notre fonction , disons que nous sommes à un point . Ensuite, nous devons nous déplacer dans la direction $f$ $(-2, 4)$ . $-\nabla f(-2, -4)= -(2 \cdot -2 \cdot (1, 0) + 2 \cdot 4 \cdot (0, 1)) = -((-4, 0) + (0, 8))=(4, -8)$

L'amplitude de ce vecteur nous donnera à quel point la colline est raide (des valeurs plus élevées signifient que la colline est plus raide). Dans ce cas, nous avons . $\sqrt{4^2+(-8)^2}\approx 8.944$

Gradient Descent

Produit Hadamard

Le produit de Hadamard de deux matrices , est exactement comme l'addition de matrice, sauf qu'au lieu d'ajouter les matrices élément par élément, nous les multiplions par élément. $A, B \in R^{n\times m}$

Formellement, alors que l'addition matricielle est , où telle que $A + B = C$ $C \in R^{n \times m}$

C_{j}^{i} = A_{j}^{i} + B_{j}^{i}

$C^i_j = A^i_j + B^i_j$

Le produit Hadamard , où $A \odot B = C$ $C \in R^{n \times m}$ tel que

C_{j}^{i} = A_{j}^{i} \cdot B_{j}^{i}

$C^i_j = A^i_j \cdot B^i_j$

Calcul des gradients

(la majeure partie de cette section provient du livre de Neilsen ).

Nous avons un ensemble d'échantillons d'apprentissage , où est un échantillon d'apprentissage à entrée unique et est la valeur de sortie attendue de cet échantillon d'apprentissage. Nous avons également notre réseau de neurones, composé de biais et poids . est utilisé pour éviter la confusion des , et utilisés dans la définition d'un réseau à action directe. $(S, E)$ $S_r$ $E_r$ $W$ $B$ $r$ $i$ $j$ $k$

Ensuite, nous définissons une fonction de coût, $C(W, B, S^r, E^r)$ qui prend notre réseau de neurones et un seul exemple de formation, et affiche à quel point il a bien fonctionné.

Normalement, ce qui est utilisé est le coût quadratique, qui est défini par

C (W, B, S^{r}, E^{r}) = 0.5 \sum_{j} (a_{j}^{L} - E_{j}^{r})^{2}

$C(W, B, S^r, E^r) = 0.5\sum\limits_j (a^L_j - E^r_j)^2$

où est la sortie de notre réseau de neurones, étant donné l'échantillon d'entrée $a^L$ $S^r$

Ensuite, nous voulons trouver et $\frac{\partial C}{\partial w^i_j}$ $\frac{\partial C}{\partial b^i_j}$ pour chaque nœud de notre réseau neuronal à action directe.

Nous pouvons appeler cela le gradient de à chaque neurone parce que nous considérons et comme des constantes, car nous ne pouvons pas les changer lorsque nous essayons d'apprendre. Et cela a du sens - nous voulons nous déplacer dans une direction par rapport à et qui minimise les coûts, et se déplacer dans la direction négative du gradient par rapport à et fera. $C$ $S^r$ $E^r$ $W$ $B$ $W$ $B$

$\delta^i_j=\frac{\partial C}{\partial z^i_j}$ $j$ in layer $i$ .

We start with computing $a^L$ by plugging $S^r$ into our neural network.

Then we compute the error of our output layer, $\delta^L$ , via

δ_{j}^{L} = \frac{\partial C}{\partial a_{j}^{L}} σ^{'} (z_{j}^{L})

$\delta^L_j = \frac{\partial C}{\partial a^L_j} \sigma^{ \prime}(z^L_j)$ .

Which can also be written as

δ^{L} = \nabla_{a} C ⊙ σ^{'} (z^{L})

$\delta^L = \nabla_a C \odot \sigma^{ \prime}(z^L)$ .

Next, we find the error $\delta^i$ in terms of the error in the next layer $\delta^{i+1}$ , via

δ^{i} = ((W^{i + 1})^{T} δ^{i + 1}) ⊙ σ^{'} (z^{i})

$\delta^i=((W^{i+1})^T \delta^{i+1}) \odot \sigma^{\prime}(z^i)$

Now that we have the error of each node in our neural network, computing the gradient with respect to our weights and biases is easy:

\frac{\partial C}{\partial w_{j k}^{i}} = δ_{j}^{i} a_{k}^{i - 1} = δ^{i} (a^{i - 1})^{T}

$\frac{\partial C}{\partial w^i_{jk}}=\delta^i_j a^{i-1}_k=\delta^i(a^{i-1})^T$

\frac{\partial C}{\partial b_{j}^{i}} = δ_{j}^{i}

$\frac{\partial C}{\partial b^i_j} = \delta^i_j$

Note that the equation for the error of the output layer is the only equation that's dependent on the cost function, so, regardless of the cost function, the last three equations are the same.

As an example, with quadratic cost, we get

δ^{L} = (a^{L} - E^{r}) ⊙ σ^{'} (z^{L})

$\delta ^L = (a^L - E^r) \odot \sigma ^ {\prime}(z^L)$

for the error of the output layer. and then this equation can be plugged into the second equation to get the error of the $L-1^{\text{th}}$ layer:

δ^{L - 1} = ((W^{L})^{T} δ^{L}) ⊙ σ^{'} (z^{L - 1})

$\delta^{L-1}=((W^{L})^T \delta^{L}) \odot \sigma^{\prime}(z^{L-1})$

= ((W^{L})^{T} ((a^{L} - E^{r}) ⊙ σ^{'} (z^{L}))) ⊙ σ^{'} (z^{L - 1})

$=((W^{L})^T ((a^L - E^r) \odot \sigma ^ {\prime}(z^L))) \odot \sigma^{\prime}(z^{L-1})$

which we can repeat this process to find the error of any layer with respect to $C$ , which then allows us to compute the gradient of any node's weights and bias with respect to $C$ .

I could write up an explanation and proof of these equations if desired, though one can also find proofs of them here. I'd encourage anyone that is reading this to prove these themselves though, beginning with the definition $\delta^i_j=\frac{\partial C}{\partial z^i_j}$ and applying the chain rule liberally.

For some more examples, I made a list of some cost functions alongside their gradients here.

Gradient Descent

Now that we have these gradients, we need to use them learn. In the previous section, we found how to move to "slide down" the curve with respect to some point. In this case, because it's a gradient of some node with respect to weights and a bias of that node, our "coordinate" is the current weights and bias of that node. Since we've already found the gradients with respect to those coordinates, those values are already how much we need to change.

We don't want to slide down the slope at a very fast speed, otherwise we risk sliding past the minimum. To prevent this, we want some "step size" $\eta$ .

Then, find the how much we should modify each weight and bias by, because we have already computed the gradient with respect to the current we have

Δ w_{j k}^{i} = - η \frac{\partial C}{\partial w_{j k}^{i}}

$\Delta w^i_{jk}= -\eta \frac{\partial C}{\partial w^i_{jk}}$

Δ b_{j}^{i} = - η \frac{\partial C}{\partial b_{j}^{i}}

$\Delta b^i_j = -\eta \frac{\partial C}{\partial b^i_j}$

Thus, our new weights and biases are

w_{j k}^{i} = w_{j k}^{i} + Δ w_{j k}^{i}

$w^i_{jk} = w^i_{jk} + \Delta w^i_{jk}$

b_{j}^{i} = b_{j}^{i} + Δ b_{j}^{i}

$b^i_j = b^i_j + \Delta b^i_j$

Using this process on a neural network with only an input layer and an output layer is called the Delta Rule.

Stochastic Gradient Descent

Now that we know how to perform backpropagation for a single sample, we need some way of using this process to "learn" our entire training set.

One option is simply performing backpropagation for each sample in our training data, one at a time. This is pretty inefficient though.

A better approach is Stochastic Gradient Descent. Instead of performing backpropagation for each sample, we pick a small random sample (called a batch) of our training set, then perform backpropagation for each sample in that batch. The hope is that by doing this, we capture the "intent" of the data set, without having to compute the gradient of every sample.

For example, if we had 1000 samples, we could pick a batch of size 50, then run backpropagation for each sample in this batch. The hope is that we were given a large enough training set that it represents the distribution of the actual data we are trying to learn well enough that picking a small random sample is sufficient to capture this information.

However, doing backpropagation for each training example in our mini-batch isn't ideal, because we can end up "wiggling around" where training samples modify weights and biases in such a way that they cancel each other out and prevent them from getting to the minimum we are trying to get to.

To prevent this, we want to go to the "average minimum," because the hope is that, on average, the samples' gradients are pointing down the slope. So, after choosing our batch randomly, we create a mini-batch which is a small random sample of our batch. Then, given a mini-batch with $n$ training samples, and only update the weights and biases after averaging the gradients of each sample in the mini-batch.

Formally, we do

Δ w_{j k}^{i} = \frac{1}{n} \sum_{r} Δ w_{j k}^{r i}

$\Delta w^{i}_{jk} = \frac{1}{n}\sum\limits_r \Delta w^{ri}_{jk}$

and

Δ b_{j}^{i} = \frac{1}{n} \sum_{r} Δ b_{j}^{r i}

$\Delta b^{i}_{j} = \frac{1}{n}\sum\limits_r \Delta b^{ri}_{j}$

where $\Delta w^{ri}_{jk}$ is the computed change in weight for sample $r$ , and $\Delta b^{ri}_{j}$ is the computed change in bias for sample $r$ .

Then, like before, we can update the weights and biases via:

w_{j k}^{i} = w_{j k}^{i} + Δ w_{j k}^{i}

$w^i_{jk} = w^i_{jk} + \Delta w^{i}_{jk}$

b_{j}^{i} = b_{j}^{i} + Δ b_{j}^{i}

$b^i_j = b^i_j + \Delta b^{i}_{j}$

This gives us some flexibility in how we want to perform gradient descent. If we have a function we are trying to learn with lots of local minima, this "wiggling around" behavior is actually desirable, because it means that we're much less likely to get "stuck" in one local minima, and more likely to "jump out" of one local minima and hopefully fall in another that is closer to the global minima. Thus we want small mini-batches.

On the other hand, if we know that there are very few local minima, and generally gradient descent goes towards the global minima, we want larger mini-batches, because this "wiggling around" behavior will prevent us from going down the slope as fast as we would like. See here.

One option is to pick the largest mini-batch possible, considering the entire batch as one mini-batch. This is called Batch Gradient Descent, since we are simply averaging the gradients of the batch. This is almost never used in practice, however, because it is very inefficient.

Phylliida
la source

Algorithme de rétropropagation

Réponses:

introduction

Dérivés partiels

Produit Hadamard

Calcul des gradients

Gradient Descent

Stochastic Gradient Descent