Student t as mixture of gaussian

Utilisation de la distribution t de Student avec $k > 0$ degrés de liberté, paramètre de localisation et paramètre d'échelle ayant une densité$l$$s$

$$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$$

comment montrer que la distribution Student peut être écrite comme un mélange de distributions gaussiennes en laissant , , et intégrant la densité conjointe pour obtenir la densité marginale ? Quels sont les paramètres de la distribution résultante, en tant que fonctions de ?$t$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$$f(x,\tau|\mu)$$f(x|\mu)$$t$$\mu,\alpha,\beta$

Je me suis perdu dans le calcul en intégrant la densité conditionnelle conjointe à la distribution gamma.

Le PDF d'une distribution normale est

$$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$$

mais en termes de il est$\tau = 1/\sigma^2$

$$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$$

Le PDF d'une distribution Gamma est

$$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$$

Leur produit, légèrement simplifié avec l'algèbre facile, est donc

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$$

Sa partie intérieure a évidemment la forme , ce qui en fait un multiple d'une fonction Gamma lorsqu'elle est intégrée sur toute la plage τ = 0 à τ = ∞ . Cette intégrale est donc immédiate (obtenue en sachant que l'intégrale d'une distribution gamma est l'unité), donnant la distribution marginale$\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$$\tau=0$$\tau=\infty$

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$$

Essayer de faire correspondre le modèle fourni pour la distribution montre qu'il y a une erreur dans la question: le PDF pour la distribution t de Student est en fait proportionnel à$t$

$$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$$

(la puissance de est 2 , pas 1 ). La correspondance des termes indique k = 2 α , l = μ et s = 1 / $(x-l)/s$$2$$1$$k = 2 \alpha$$l=\mu$ .$s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

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Notez qu'aucun calcul n'était nécessaire pour cette dérivation: tout consistait à rechercher les formules des PDF normaux et gamma, à effectuer des manipulations algébriques triviales impliquant des produits et des puissances, et à associer des modèles dans des expressions algébriques (dans cet ordre).

$t$$k$$Y$$Y$$X$$t(k)$$X$$\sqrt Y$$\Phi$,where $Y$~$IG(k/2,k/2)$,$\Phi$ is standard normal rv. I hope this could help you in some sense.

To simplify we assume mean $0$. Using representation, we show the result for integer degrees of freedom.

$$\sqrt{1/\tau} X =Y$$ is equivalent to a Gaussian mixture with that prior: conditioned on $\tau$, $Y$ is Gaussian with precision $\tau$, and the prior $\tau$ is as desired. Then it remains to show that $\sqrt{1/\tau} X$ is a t-distribution. We can write $$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$$ using a well-known result about gammas and Chi-squares (decompose a gamma as a sum of exponentials and combine the exponentials to normals to Chi squares) This in turn implies that $$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$$ $$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$$ which is a scaled t with $k=2\alpha$ and $s=1/\sqrt{\alpha \beta}$ by variance of t. We can recenter our representation at $\mu$ and $l$ would follow.