Une distribution de probabilité peut-elle avoir un écart-type infini?

Je crois $p[x]$ est une distribution de probabilité, où

car il est positif partout et s'intègre à 1 sur $-\infty, \infty$.

La moyenne est 0 par symétrie, même si l'intégration $xp[x]$ sur $-\infty, \infty$ne converge pas. C'est "suspect" car $p[x]$ est censé être une distribution de probabilité, mais raisonnable car $xp[x]$ est $O(1/x)$ qui est connu pour diverger.

Le plus gros problème réside dans le calcul de l'écart type. Depuis$x^2 p[x]$ diverge également, car $x^2 p[x]$ est $O(1)$.

Si ce n'est pas une distribution de probabilité, pourquoi pas? Si tel est le cas, son écart-type est-il infini?

La fonction de distribution cumulative est $\arctan[x]/\pi$ si cela aide.

Quelqu'un a mentionné que cela pourrait être une distribution gamma, mais ce n'est pas clair pour moi.

Pour répondre au titre de votre question: Oui, une distribution de probabilité peut avoir un écart-type infini (voir ci-dessous).

Votre exemple est un cas particulier de la distribution de Cauchy dont la moyenne ou la variance n'existe pas. Réglez le paramètre d'emplacement sur 0 et l'échelle sur 1 pour que le Cauchy accède à votre pdf.

La distribution de Cauchy n'a pas de moyenne ou de variance, en ce sens que l'intégrale ne converge vers rien dans $[-\infty,\infty]$. Cependant, une distribution comme$f(x)=\frac{2}{x^3}$ sur $[1,\infty)$ a une moyenne, mais l'écart-type est infini.