La valeur absolue d'une série stationnaire est-elle également stationnaire?

Je sais que les transformations linéaires des séries temporelles résultant de processus (faiblement) stationnaires sont également stationnaires. Est-ce vrai, cependant, pour une transformation d'une série en prenant également la valeur absolue de chaque élément? En d'autres termes, si est stationnaire, alors stationnaire?$\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$$\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

Dans un cas particulier, cela est quelque peu vrai:

Si votre série chronologique est stationnaire avec une erreur normalement distribuée, les valeurs absolues de votre série temporelle d'origine suivent une distribution normale pliée stationnaire. Étant donné que même une stationnarité faible signifie que la moyenne et la variance sont constantes dans le temps, les valeurs absolues seront également stationnaires. Pour les autres distributions, cela signifie que les valeurs absolues de la série temporelle d'origine sont au moins faiblement stationnaires, car la variance constante des valeurs d'origine se traduit par une moyenne constante des nouvelles valeurs.

Cependant, si votre série chronologique d'origine n'a qu'une moyenne constante, la variance peut changer au fil du temps, ce qui affectera la moyenne des valeurs absolues. Par conséquent, les valeurs absolues ne seront pas (faiblement) stationnaires elles-mêmes.

Une réponse plus générale nécessiterait une étude de la fonction de génération de moment de la valeur absolue d'une variable aléatoire. Peut-être que quelqu'un avec une formation plus mathématique peut répondre à cela.

Laisser $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ être une série chronologique où $X_n$ est une variable aléatoire discrète prenant des valeurs $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ avec une probabilité égale $\frac 14$. Il est facile de vérifier que$E[X_n] = 0$ et

Pour le processus faiblement stationnaire décrit ci-dessus, le processus $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$n'est pas faiblement stationnaire car $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$n'est pas une constante comme cela est nécessaire pour une stationnarité faible (bien qu'il soit vrai que la fonction d'autocorrélation$E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ est fonction de $n$ seul).

D'un autre côté, comme l'a noté @bananach dans un commentaire sur la question principale, si la stationnarité est interprétée comme une stationnarité stricte , alors la stationnarité stricte de$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implique que $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$est également un processus strictement stationnaire. Les processus strictement stationnaires à variance finie sont également des processus faiblement stationnaires, et donc pour cette sous-classe, il est vrai que la stationnarité faible de$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implique une stationnarité faible de $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$. But, as described in the first part of this answer, one cannot always conclude that weak stationarity of $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implies weak stationarity of $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$.

The answer is no. This can be seen by considering a sequence of independent r.vs. $X_i$ with their marginal distribution taken in a parametric family depending on three parameters. To get a generic example, we can consider a distribution which can be re-parameterized by using the first two moments along with the absolute moment $\mathbb{E}[|X|]$. We can then keep the first two parameters constant while the third $\mathbb{E}[|X_i|]$ depends on $i$.

As a specific example we can take a discrete distribution with support $\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$; the three moments $\mathbb{E}[X]$, $\mathbb{E}[X^2]$ and $\mathbb{E}[|X|]$ express as linear combinations of the four probabilities $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$. Since the three linear combinations are linearly independent, we can use the three moments to re-parameterize as wanted.

As several others have shown, weak stationarity does not necessarily remain when you take the absolute value of the time-series. The reason for this is that taking the absolute value of each element of the time-series can change the mean and variance in a non-uniform way, due to differences in the underlying distributions of the values. Although weak stationarity does not transfer over in this way, it is worth nothing that strong stationarity does remain under the absolute-value transformation.