Quelle est l'intuition derrière la différenciation de second ordre?

Il peut parfois être nécessaire de différencier une série de temps pour la rendre fixe. Cependant, je ne comprends pas comment la différenciation de second ordre peut aider à la rendre stationnaire lorsque la différenciation de premier ordre ne suffit pas.

Pourriez-vous donner une explication intuitive pour la différenciation de second ordre et les cas où cela est nécessaire?

La différenciation de second ordre est l'analogie discrète avec la dérivée seconde. Pour une série temporelle discrète, la différence de second ordre représente la courbure de la série à un instant donné. Si la différence de second ordre est positive, alors la série chronologique se courbe vers le haut à ce moment-là, et si elle est négative, alors la série chronologique se courbe vers le bas à ce moment-là.

Différence de second ordre d'une série temporelle discrète au temps est:$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Ceci est positif si et négatif si (et nul si ). S'il y a plus de changements à la hausse (moins à la baisse) dans la série à ce moment que dans le temps précédent, il y a une courbure positive, et s'il y a moins de changements à la hausse (plus à la baisse) dans la série à ce moment que dans le temps précédent, il y a une courbure négative.$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Deux réflexions:

Récursivité . Après votre différence de premier ordre, qu'avez-vous? Une autre série chronologique qui est, dans de bonnes conditions, plus proche de l'arrêt. Si elle n'est pas assez proche, vous avez maintenant une série chronologique qui n'est pas stationnaire et vous souhaitez la rapprocher de la stationnaire, vous prenez donc une différence de premier ordre. (Ce qui se trouve être une différence de second ordre par rapport à la série chronologique d'origine.) Si la série chronologique différenciée n'est pas assez proche de la stationnaire, vous ... [récusez] ...

Dérivés . Imaginez que vous enregistriez la position GPS de votre voiture toutes les 10 minutes. Si je pouvais prendre les points GPS de deux jours et vous les montrer et que vous ne pouviez pas savoir quel jour cela aurait pu être - peut-être même pas vraiment distinguer un jour d'un autre - vos données de localisation seraient Stationnaire.

Mais disons que vous avez conduit chaque jour dans une ville voisine différente pendant deux semaines? Vous seriez facilement en mesure de faire la différence entre les jours - peut-être même de savoir exactement quel jour je vous montrais. Pas stationnaire.

Peut-être que si vous enregistriez votre distance à la maison toutes les 10 minutes, cela rendrait vos données plus stationnaires. La distance n'inclut pas la direction, alors peut-être que maintenant vos données pour ces deux semaines auraient à peu près la même apparence? (L'emplacement moyen est la maison, par exemple.)

Dites plutôt que vous avez choisi de conduire de New York directement à Los Angeles. L'astuce de la distance ne fonctionnerait pas, car votre distance vous donnerait une distinction assez claire entre les jours.

Mais vous pouvez alors choisir d'enregistrer votre vitesse toutes les 10 minutes à la place. En conduisant à travers le pays sur le système interétatique, vos jours auraient tendance à se ressembler beaucoup, en termes de vitesse. Autrement dit, votre vitesse serait stationnaire.

Disons que l'emplacement au temps 0 est , et 10 et 20 minutes plus tard sont et , respectivement. La distance parcourue dans chaque intervalle de 10 minutes serait et , qui, divisée par l'intervalle de temps, donne la vitesse (les mêmes unités que la vitesse mais avec la direction). Le deuxième différentiel, est l'accélération. Si la vitesse est à l'arrêt et que le véhicule est en mouvement perpétuel, les différences de position seraient également à l'arrêt.$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$