Comment représenter correctement les variables de différence dans les DAG?

Si je suis intéressé par les effets causals du changement d'une variable ( ) sur certains résultats ( ), comment pourrais-je représenter cela dans un graphique acyclique dirigé (DAG)?$E$$O$

Supposons que , où et se produisent aux moments 1 et 2, un DAG correct serait-il: $\Delta E_2 = E_2 - E_1$$E_1$$E_2$

1. En supposant que est simplement capturé par tous les niveaux de et (de la même manière que les effets d'interaction sont ainsi capturés)? $\Delta E_2$$E_1$$E_2$

2. En supposant que est une variable causalement distincte de et , mais nécessitant la présence de ces variables? $\Delta E_2$$E_1$$E_2$

3. En supposant que est indépendant de & et que ces derniers ne sont pas nécessaires pour représenter les effets de ? $\Delta E_2$$E_1$$E_2$$\Delta E_2$

4. Autre chose?

REMARQUE: « DAG » ne signifie pas «n'importe quel ancien type de graphique causal ou corrélationnel», mais est un formalisme étroitement interdit représentant les croyances causales.

Ma motivation est que j'essaie de penser à la représentation DAG de modèles dynamiques comme le modèle de correction d'erreur généralisé:

Bien sûr, l'estimation brute des paramètres est transformée pour interpréter le modèle comme ci-dessous, alors peut-être que DAGER le modèle ci-dessus serait encore plus compliqué?

Effet instantané à court terme du changement de sur :$E$$\Delta O$$\beta_{\Delta E}$

Effet décalé à court terme du niveau sur :$E$$\Delta O$$\beta_{E} - \beta_{\text{c}} - \beta_{\Delta E}$

Effet d'équilibre à long terme de retardé sur :$E$$\Delta O$$\frac{\beta_{\text{c}} - \beta_{E}}{\beta_{\text{c}}}$

La solution est de penser fonctionnellement.

La valeur de $\Delta E_{2} = f(E_{1},E_{2})$ plus précisement$\Delta E_{2} = E_{2} - E_{1}$. Par conséquent, les variables de différence peuvent être représentées dans les DAG par l'option 4, "autre chose" (ce DAG suppose$E_{1}$ et $E_{2}$ provoquer directement $O$ en plus de leur différence):

Si $E_{1}$ & $E_{2}$ n'ont pas d'effets directs sur $O$, $\Delta E_{2}$ reste toujours une fonction de ses parents:

Si nous réécrivons ainsi le modèle de correction d'erreur généralisé à un seul décalage ($Q_{t-1}$ pour «terme eQuilibrium», où $Q_{t-1} = O_{t-1} - E_{t-1}$):

Ensuite, le DAG sous-jacent au modèle pour $\Delta O_{t}$ (en ignorant ses descendants à $t+1$) est:

Les effets de $E$ sur $\Delta O_{t}$ du modèle entrent donc du terme d'équilibre $Q_{t-1}$, de $E_{t-1}$ et de changer le terme $\Delta E_{t}$. Autres causes de$O_{t-1}$, $O_{t}$, $E_{t-1}$ et $E_{t}$ (par exemple, variables non modélisées, entrées aléatoires) sont laissées implicites.

La partie de cette réponse correspondant aux deux premiers DAG est une courtoisie de communication personnelle avec Miguel Hernán.

ÉDITER:

Si vous souhaitez uniquement représenter des relations non paramétriques entre vos variables, je pense que 1) serait le plus approprié. Bien qu'il puisse exister une forme fonctionnelle plus spécifique reliant les deux variables au résultat, dans un DAG, il n'est pas nécessaire de représenter cette forme. D'un autre côté, si vous vouliez utiliser un diagramme de chemin représentant un modèle d'équation structurelle linéaire comme celui que vous avez écrit, il serait logique d'inclure le score de différence dans le diagramme; de cette façon, le modèle spécifique que vous avez écrit et le diagramme seraient tout aussi spécifiques. Un DAG est plus vague (mais aussi plus flexible) car il ne nécessite pas (ou ne permet pas nécessairement) une forme de fonction spécifique.

Cela pourrait se résumer à l'objectif de dessiner votre DAG. Si votre objectif est de représenter avec autant de précision que possible les relations entre vos variables, il serait logique d'inclure le terme de différence comme sa propre variable car il a sa propre force causale. Un graphique sans lui serait également valide. Vous pourriez, en théorie, faire les mêmes déclarations d'indépendance conditionnelle sur le résultat et les prédicteurs avec un DAG plus détaillé qu'avec un DAG moins détaillé.

Mon intuition est la plus proche de 3). S'il est vrai que$E_1$ et $E_2$ n'affectent pas directement $O$ sauf par leur différence, alors 3) est correct, et j'ajouterais des bords de $E_1$ et $E_2$ à $\Delta E_2$ et de $E_1$ à $E_2$pour être complet. Aucun autre nœud ne pointerait vers la variable de différence, mais les variables qui prédisent la différence pointeraient plutôt vers$E_1$ et / ou $E_2$. Graphiquement, ce que je décris est:

E1
 |---->  E2-E1 ---> O
 V       ^
E2-------|

avec d'éventuelles flèches supplémentaires de $E_1$ et $E_2$ à $O$ si elles affectent $O$ au-delà de leur effet par leur différence.