J'essaie de modéliser et de prévoir une série chronologique qui est cyclique plutôt que saisonnière (c'est-à-dire qu'il y a des schémas saisonniers, mais pas avec une période fixe). Cela devrait être possible en utilisant un modèle ARIMA, comme mentionné dans la section 8.5 de la prévision: principes et pratique :

La valeur de est importante si les données montrent des cycles. Pour obtenir des prévisions cycliques, il est nécessaire d'avoir avec quelques conditions supplémentaires sur les paramètres. Pour un modèle AR (2), un comportement cyclique se produit si .$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Quelles sont ces conditions supplémentaires sur les paramètres dans le cas général ARIMA (p, d, q)? Je n'ai pu les trouver nulle part.

Une certaine intuition graphique

Dans les modèles AR , le comportement cyclique provient des racines conjuguées complexes du polynôme caractéristique. Pour donner d'abord l'intuition, j'ai tracé les fonctions de réponse impulsionnelle ci-dessous à deux exemples de modèles AR (2).

1. Un processus persistant aux racines complexes.
2. Un processus persistant avec de vraies racines.

Pour , les racines du polynôme caractéristique sont où sont des valeurs propres de la matrice je définis ci-dessous. Avec un conjugué complexe de valeurs propres et , le contrôle l'amortissement (où ) et contrôle la fréquence de l'onde cosinus.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Exemple détaillé AR (2)

Supposons que nous ayons l'AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Vous pouvez écrire n'importe quel AR (p) en tant que VAR (1) . Dans ce cas, la représentation VAR (1) est:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ matrice régit la dynamique de et donc . L'équation caractéristique de la matrice est: Les valeurs propres de sont: Les vecteurs propres de sont: $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Notez que . Formation de la décomposition des valeurs propres et augmentation de à la ème puissance. $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Une vraie valeur propre conduit à la décroissance lorsque vous augmentez . Les valeurs propres avec des composantes imaginaires non nulles conduisent à un comportement cyclique.$\lambda$$\lambda^k$

Valeurs propres avec cas de composant imaginaire:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

Dans le contexte AR (2), nous avons des valeurs propres complexes si . Puisque est réel, ils doivent venir par paires qui sont des conjugués complexes les uns des autres.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Après le chapitre 2 de Prado et West (2010), laissez

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Vous pouvez montrer que la prévision est donnée par:$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Parlant librement, l'ajout des conjugués complexes annule leur composante imaginaire, vous laissant avec une seule onde cosinus amortie dans l'espace des nombres réels. (Notez que nous devons avoir pour la stationnarité.)$0 \leq r < 1$

Si vous voulez trouver , , , , commencez par utiliser la formule d'Euler qui , nous pouvons écrire:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

annexe

Remarque Avertissement de terminologie déroutant! Relier le polynôme caractéristique de A au polynôme caractéristique de AR (p)

Une autre astuce de série chronologique consiste à utiliser l' opérateur de décalage pour écrire l'AR (p) comme:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Remplacez l'opérateur de décalage par une variable et les gens se réfèrent souvent à comme polynôme caractéristique du modèle AR (p). Comme l'explique cette réponse , c'est exactement le polynôme caractéristique de où . Les racines sont les inverses des valeurs propres. (Remarque: pour que le modèle soit stationnaire, vous voulez que , c'est-à-dire à l'intérieur du cercle d'unité, ou de manière équivalente , c'est-à-dire à l'extérieur du cercle d'unité.)$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Références

Prado, Raquel et Mike West, Séries chronologiques: modélisation, calcul et inférence , 2010