Comprendre la régression logistique et la probabilité

Comment fonctionne réellement l’estimation des paramètres / la formation de la régression logistique? Je vais essayer de mettre ce que j'ai jusqu'à présent.

La sortie est y la sortie de la fonction logistique sous forme d'une probabilité dépendant de la valeur de x: $P (y = 1 | x) = \frac{1}{1 + e^{- ω^{T} x}} \equiv σ (ω^{T} x)$ $P(y=1|x)={1\over1+e^{-\omega^Tx}}\equiv\sigma(\omega^Tx)$ $P (y = 0 | x) = 1 - P (y = 1 | x) = 1 - \frac{1}{1 + e^{- ω^{T} x}}$ $P(y=0|x)=1-P(y=1|x)=1-{1\over1+e^{-\omega^Tx}}$
Pour une dimension, la soi-disant cote est définie comme suit: $\frac{p (y = 1 | x)}{1 - p (y = 1 | x)} = \frac{p (y = 1 | x)}{p (y = 0 | x)} = e^{ω_{0} + ω_{1} x}$ ${{p(y=1|x)}\over{1-p(y=1|x)}}={{p(y=1|x)}\over{p(y=0|x)}}=e^{\omega_0+\omega_1x}$
logAjoutons maintenant la fonction pour obtenir les W_0 et W_1 sous forme linéaire: $L o g i t (y) = l o g (\frac{p (y = 1 | x)}{1 - p (y = 1 | x)}) = ω_{0} + ω_{1} x$ $Logit(y)=log({{p(y=1|x)}\over{1-p(y=1|x)}})=\omega_0+\omega_1x$
Passons maintenant à la partie problématique Utilisation de la vraisemblance (Big X est y) $L (X | P) = \prod_{i = 1, y_{i} = 1}^{N} P (x_{i}) \prod_{i = 1, y_{i} = 0}^{N} (1 - P (x_{i}))$ $L(X|P)=\prod^N_{i=1,y_i=1}P(x_i)\prod^N_{i=1,y_i=0}(1-P(x_i))$ Quelqu'un peut-il dire pourquoi nous considérons la probabilité de y = 1 deux fois? puisque: $P (y = 0 | x) = 1 - P (y = 1 | x)$ $P(y=0|x)=1-P(y=1|x)$

et comment en tirer les valeurs de ω?

regression logistic likelihood Moteur
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Réponses:

Supposons en général que vous avez décidé de prendre un modèle du formulaire

P (y = 1 | X = x) = h (x; Θ)

$P(y=1|X=x) = h(x;\Theta)$

pour un paramètre . Ensuite, vous écrivez simplement la probabilité, c'est-à-dire $\Theta$

L (Θ) = \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 1} P (y = 1 | x = x; Θ) \cdot \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 0} P (y = 0 | x = x; Θ)

$L(\Theta) = \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 1} P(y=1|x=x;\Theta) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 0} P(y=0|x=x;\Theta)$

ce qui est le même que

L (Θ) = \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 1} P (y = 1 | x = x; Θ) \cdot \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 0} (1 - P (y = 1 | x = x; Θ))

$L(\Theta) = \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 1} P(y=1|x=x;\Theta) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 0} (1-P(y=1|x=x;\Theta))$

Vous avez maintenant décidé de `` supposer '' (modèle)

P (y = 1 | X = x) = σ (Θ_{0} + Θ_{1} x)

$P(y=1|X=x) = \sigma(\Theta_0 + \Theta_1 x)$

où

σ (z) = 1 / (1 + e^{- z})

$\sigma(z) = 1/(1+e^{-z})$

il vous suffit donc de calculer la formule de la probabilité et de faire une sorte d'algorithme d'optimisation afin de trouver l' , par exemple, la méthode newtons ou toute autre méthode basée sur un gradient. $\text{argmax}_\Theta L(\Theta)$

Notez que parfois, les gens disent que lorsqu'ils effectuent une régression logistique, ils ne maximisent pas une probabilité (comme nous / vous l'avez fait ci-dessus), mais plutôt qu'ils minimisent une fonction de perte

l (Θ) = - \sum_{i = 1}^{N} y_{i} \log (P (Y_{i} = 1 | X = x; Θ)) + (1 - y_{i}) \log (P (Y_{i} = 0 | X = x; Θ))

$l(\Theta) = -\sum_{i=1}^N{y_i\log(P(Y_i=1|X=x;\Theta)) + (1-y_i)\log(P(Y_i=0|X=x;\Theta))}$

mais notez que . $-\log(L(\Theta)) = l(\Theta)$

Il s'agit d'un modèle général dans l'apprentissage automatique: le côté pratique (minimiser les fonctions de perte qui mesurent à quel point un modèle heuristique est `` faux '') est en fait égal au `` côté théorique '' (modélisation explicite avec le symbole , maximisant les quantités statistiques comme probabilités) et en fait, de nombreux modèles qui ne ressemblent pas à des probabilistes (SVM par exemple) peuvent être compris de nouveau dans un contexte probabiliste et sont en fait des maximisations de vraisemblances. $P$

Fabian Werner
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@Werner merci pour votre réponse. Mais j'ai encore besoin d'un éclaircissement. Pourriez-vous s'il vous plaît expliquer à quoi servent les 2

dans la définition de

car pour autant que je le comprenne, je suis intéressé par le cas de

. et comment obtenir les valeurs de

merci beaucoup pour votre aide!

\prod

$\prod$

L (θ)

$L(\theta)$

y_{i} = 1

$y_i =1$

ω_{1}

$\omega_1$

ω_{0}

$\omega_0$

Moteur

@Engine: Le grand «pi» est un produit ... comme un grand Sigma

est une somme ... comprenez-vous ou avez-vous besoin de plus de précisions à ce sujet également? Sur la deuxième question: Disons que nous voulons minimiser une fonction

et nous commençons à

mais supposons que nous ne savons pas / ne pouvons pas exprimer / ne pouvons pas visualiser

car il est trop compliqué . Maintenant, la dérivée de

est

. Fait intéressant, si nous avons raison du minimum

Σ

$\Sigma$

f (x) = x^{2}

$f(x) = x^2$

x = 3

$x=3$

f

$f$

f

$f$

f^{'} = 2 x

$f' = 2x$

x = 0

$x=0$ il pointe vers la droite et si nous sommes à gauche, il pointe vers la gauche. Mathématiquement, la dérivée pointe dans la direction de l'ascension la plus forte

Fabian Werner

x_{0}

$x_0$

\partial f

$\partial f$

x

$x$

x_{1}

$x_1$

x_{1} = x_{0} + \partial f (x_{0})

$x_1 = x_0 + \partial f(x_0)$

\partial f (x_{1})

$\partial f(x_1)$

x

$x$

x_{2} = x_{1} + \partial f (x_{1})

$x_2 = x_1 + \partial f(x_1)$

L (Θ)

$L(\Theta)$

L (ω)

$L(\omega)$

ω

$\omega$

L

$L$

y = 1

$y=1$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

y = 1

$y=1$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

Fabian Werner

$, y_i=1$ $,y_i=0$

$\omega$ $\omega$

Maarten Buis
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y_{i} = 0

$y_i = 0$

ω

$\omega$

\prod_{i = 1, y = 1}^{N}

$\prod_{i=1, y=1}^N$

i = 1

$i=1$

N

$N$

y = 1

$y=1$

Il existe de nombreux algorithmes possibles pour maximiser la fonction de vraisemblance. La plus courante, la méthode de Newton-Raphson , consiste en effet à calculer les première et seconde dérivées.

Maarten Buis