Termes d'erreur du modèle à moyenne mobile

Il s'agit d'une question de base sur les modèles Box-Jenkins MA. Si je comprends bien, un modèle MA est essentiellement une régression linéaire des valeurs de séries temporelles $Y$ rapport aux termes d'erreur précédents . Autrement dit, l'observation est d'abord régressée par rapport à ses valeurs précédentes , puis une ou plusieurs valeurs sont utilisées comme termes d'erreur pour le MA modèle.$e_t,..., e_{t-n}$$Y$$Y_{t-1}, ..., Y_{t-n}$$Y - \hat{Y}$

Mais comment les termes d'erreur sont-ils calculés dans un modèle ARIMA (0, 0, 2)? Si le modèle MA est utilisé sans partie autorégressive et donc sans valeur estimée, comment puis-je éventuellement avoir un terme d'erreur?

Estimation du modèle MA:

Supposons une série de 100 points dans le temps et disons que celle-ci est caractérisée par le modèle MA (1) sans interception. Ensuite, le modèle est donné par

Le terme d'erreur n'est pas observé ici. Pour l'obtenir, Box et al. Analyse des séries chronologiques: prévisions et contrôle (3e édition) , page 228 , suggère que le terme d'erreur est calculé récursivement par,

Donc, le terme d'erreur pour est, ε 1 = y 1 + θ ε 0 Maintenant, nous ne pouvons pas calculer cela sans connaître la valeur de θ . Donc, pour l'obtenir, nous devons calculer l'estimation initiale ou préliminaire du modèle, voir Box et al. dudit livre, la section 6.3.2 page 202 déclare que,$t=1$

Il a été montré que les premières autocorrélations du processus MA ( q ) sont non nulles et peuvent être écrites en termes de paramètres du modèle comme ρ k = - θ k + θ 1 θ k + 1 + θ 2 θ k + 2 + ⋯ + θ q - k θ $q$$q$ L'expression ci-dessus pour ρ 1 , ρ 2 ⋯ , ρ q en termes θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ q , fournit q équations dans q inconnues. Des estimations préliminaires des θ s peuvent être obtenues en substituant les estimations r k à ρ k dans l'équation ci-dessus

$$\rho_k=\displaystyle\frac{-\theta_{k}+\theta_1\theta_{k+1}+\theta_2\theta_{k+2}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}\quad k=1,2,\cdots, q$$ $\rho_1,\rho_2\cdots,\rho_q$$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$$q$$q$$\theta$$r_k$$\rho_k$

Notez que est l'autocorrélation estimée. Il y a plus de discussion à la section 6.3 - Estimations initiales des paramètres , veuillez lire à ce sujet. Maintenant, en supposant que nous obtenons l'estimation initiale θ = 0,5 . Alors, ε 1 = y 1 + 0,5 ε 0 Maintenant, un autre problème est que nous n'avons pas de valeur pour ε 0 parce que t commence à 1, et donc nous ne pouvons pas calculer ε 1 . Heureusement, il existe deux méthodes pour l'obtenir,$r_k$$\theta=0.5$

1. Probabilité conditionnelle
2. Probabilité inconditionnelle

Selon Box et al. Section 7.1.3 page 227 , les valeurs de peuvent être remplacées par zéro comme approximation si n est modéré ou grand, cette méthode est la vraisemblance conditionnelle. Sinon, la vraisemblance inconditionnelle est utilisée, la valeur de ε 0 étant obtenue par rétro-prévision, Box et al. recommander cette méthode. En savoir plus sur les prévisions rétrospectives à la section 7.1.4 page 231 .$\varepsilon_0$$n$$\varepsilon_0$

Après avoir obtenu les estimations initiales et la valeur de , nous pouvons enfin procéder au calcul récursif du terme d'erreur. Ensuite, la dernière étape consiste à estimer le paramètre du modèle ( 1 ) , rappelez-vous que ce n'est plus l'estimation préliminaire.$\varepsilon_0$$(1)$

Pour estimer le paramètre , j'utilise la procédure d'estimation non linéaire, en particulier l'algorithme de Levenberg-Marquardt, car les modèles MA ne sont pas linéaires sur son paramètre.$\theta$

Dans l'ensemble, je vous recommande fortement de lire Box et al. Analyse des séries chronologiques: prévisions et contrôle (3e édition) .

$Y$$Y_{t−1},...,Y_{t−n}$$Y−\hat{Y}$$Y$$e_{t-1}$$e_{t−2}$$e_t$$\theta_1$$e_{t-1}$$\theta_2$$e_{t-2}$$e_t$$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$

Voir mon article ici pour une explication de la façon de comprendre les termes de perturbation dans une série MA.

Vous avez besoin de différentes techniques d'estimation pour les estimer. En effet, vous ne pouvez pas d'abord obtenir les résidus d'une régression linéaire, puis inclure les valeurs résiduelles décalées comme variables explicatives, car le processus MA utilise les résidus de la régression actuelle. Dans votre exemple, vous faites deux équations de régression et utilisez les résidus de l'un dans l'autre. Ce n'est pas ce qu'est un processus de MA. Il ne peut pas être estimé avec OLS.