A est positivement lié à B.

C est le résultat de A et B, mais l'effet de A sur C est négatif et l'effet de B sur C est positif.

Cela peut-il arriver?

Les autres réponses sont vraiment merveilleuses - elles donnent des exemples concrets.

Je veux expliquer pourquoi cela peut arriver malgré notre intuition contraire.

Voyez cela géométriquement !

La corrélation est le cosinus de l'angle entre les vecteurs. Essentiellement, vous demandez s'il est possible que

• $A$ fait unangleaiguavec$B$ (corrélationpositive)
• $B$ fait unangleaiguavec$C$ (corrélationpositive)
• $A$ fait unangleobtusavec$C$ (corrélationnégative)

Oui bien sûr:

Dans cet exemple ( $\rho$ désigne la corrélation):

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

Votre intuition a raison!

Cependant, votre surprise n'est pas déplacée.

L'angle entre les vecteurs est une métrique de distance sur la sphère unitaire, il satisfait donc l'inégalité du triangle:

ainsi, puisque $\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$ ,

par conséquent (puisque $\cos$ est décroissante sur $[0,\pi]$ )

Alors,

• si $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$ , alors $\rho(A,B)\ge 0.62$
• si $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$ , alors $\rho(A,B)\ge 0.805$
• si $\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$ , alors $\rho(A,B)\ge 0.9602$

Oui, deux conditions concomitantes peuvent avoir des effets opposés.

Par exemple:

• Faire des déclarations scandaleuses (A) est positivement lié au divertissement (B).
• Faire des déclarations scandaleuses (A) a un effet négatif sur la victoire aux élections (C).
• Être divertissant (B) a un effet positif sur la victoire aux élections (C).

J'ai entendu cette analogie de voiture qui s'applique bien à la question:

• La conduite en montée (A) est positivement liée au fait que le conducteur marche sur le gaz (B)
• La conduite en montée (A) a un effet négatif sur la vitesse du véhicule (C)
• Marcher sur le gaz (B) a un effet positif sur la vitesse du véhicule (C)

La clé ici est l'intention du conducteur de maintenir une vitesse constante (C), donc la corrélation positive entre A et B découle naturellement de cette intention. Vous pouvez ainsi construire des exemples sans fin de A, B, C avec cette relation.

L'analogie provient d'une interprétation du thermostat de Milton Friedman et d'une analyse intéressante de la politique monétaire et de l'économétrie, mais cela n'a rien à voir avec la question.

Oui, c'est trivial à démontrer avec une simulation:

Simulez 2 variables, A et B qui sont positivement corrélées:

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

Créez la variable C:

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

Voir:

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

$\operatorname{cor}(A,B) > 0$$\operatorname{cor}(A,C) > 0$$\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

puis

La covariance entre C et A pourrait alors être négative dans deux conditions:

1. $n>m,\ \left<A,A\right> < \left<B,A\right> (n-m)/n$
2. $n<-m,\ \left<A,A\right> > \left<B,A\right> (n-m)/n$