Intuition derrière la distribution de la loi de puissance

Je sais que le pdf d'une loi de puissance est

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

Mais qu'est-ce que cela signifie intuitivement si, par exemple, les cours des actions suivent une distribution de loi de puissance? Cela signifie-t-il que les pertes peuvent être très élevées mais peu fréquentes?

Il s'agit d'une distribution à queue lourde, car le cdf est Ainsi, la probabilité de dépasserx,(x/xmin)1-αpeut être rendue arbitrairement proche de1par le bon choix deα. Par exemple, si l'on veut que la probabilité de dépasser10uxminsoit d'au moins0,9, on devrait choisirαpour être au plus 1-log10(0,9)/u une courbe représentée ci-dessous, le premier axe étant mis à l'échelle par

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ $x$$(x/x_\min)^{1-\alpha}$$1$$\alpha$$10^u x_\min$$0.9$$\alpha$ $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ , pas de 10 u $u$ ... $10^u x_\min$

Ce n'est pas une source évaluée par les pairs, mais j'aime cette note du professeur de statistiques de la CMU, Cosma Shalizi . Il est également l'auteur de cet article , sur l'estimation de telles choses à partir de données.

L'article Power Laws in Economics and Finance peut aider à acquérir de l'intuition sur les lois de puissance. Xavier Gabaix affirme que la loi de puissance (PL) est la forme prise par un grand nombre de régularités empiriques surprenantes en économie et en finance. Sa revue examine des PL empiriques bien documentés concernant le revenu et la richesse, la taille des villes et des entreprises, les rendements boursiers, le volume des échanges, le commerce international et la rémunération des dirigeants.

Intuition pour la distribution Pareto

Pareto (wikipedia) a initialement décrit la répartition de la richesse entre les individus: une grande partie de la richesse de toute société appartient à un petit pourcentage de personnes. Son idée exprimée plus simplement comme le principe de Pareto ou la «règle des 80-20» dit que 20% de la population contrôle 80% des richesses.

La queue droite des distributions de revenus et de richesses ressemble souvent à Pareto

Si la distribution des revenus est Pareto, alors on peut dériver des expressions simples pour la part des 1% ou 10% supérieurs. Ensuite, la part du qth percentile supérieur du revenu total peut être calculée comme suit:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

où est le paramètre de forme. Cette expression implique qu'un α inférieur correspond à une queue plus épaisse de la distribution de Pareto et donc à une plus grande part du revenu total capturée par les individus aux centiles supérieurs de la distribution. Par exemple, avec α = 2 , la part du 1% supérieur est de 10% et avec α = 3 , elle est de 4%.$\alpha \geq 1$$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$ ont une distribution exponentielle sur l'échelle logarithmique.

$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

We can see from this hazard characterisation that $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ for any small values of $\ln \delta$. Notice that this probability does not depend on the conditioning value $x$, which is the result of the constant-hazard property. Hence, for any conditioning values $x, x' > x_\min$, and any small value $\ln \delta$, we have:

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

Hence, we see that the power-law can be characterised by the fact that this conditional probability is approximately the same regardless of the conditioning point. In the context of stock prices, if these follow a power-law then we can say that, the probability that the stock will "rise" by some proportion is not dependent on its present value$^\dagger$.

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$^\dagger$ We use "rise" loosely here, since we are talking about a single random variable, and we have not modelled a time-series of stock prices. Within out present context we refer to the probability of a "rise" in the stock price in the sense of a conditional probability that the price is within some interval above a lower bound, conditional on this lower bound.