Je lis sur la fonction quantile, mais ce n'est pas clair pour moi. Pourriez-vous fournir une explication plus intuitive que celle fournie ci-dessous?
Puisque le cdf est une fonction augmentant de façon monotone, il a un inverse; notons ceci par . Si est le cdf de , alors est la valeur de telle que ; Ceci est appelé le quantile de . La valeur est la médiane de la distribution, avec la moitié de la masse de probabilité à gauche et la moitié à droite. Les valeurs et sont les quartiles inférieur et supérieur.F - 1 F X F - 1 ( α ) x α P ( X ≤ x α ) = α α F F - 1 ( 0,5 ) F - 1 ( 0,25 ) F - 1 ( 0,75 )
distributions
cdf
inverse-cdf
quantile-function
Inder Gill
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Réponses:
Tout cela peut sembler compliqué au début, mais il s'agit essentiellement de quelque chose de très simple.
Par fonction de distribution cumulative, nous désignons la fonction qui renvoie des probabilités que soit inférieur ou égal à une valeur ,X X
Cette fonction prend comme entréeX et renvoie les valeurs de l' intervalle [ 0 , 1 ] (probabilités) - les let les indiquent comme p . L' inverse de la fonction de distribution cumulative (ou fonction quantile) vous indique ce que X ferait que F( x ) renvoie une valeur p ,
Ceci est illustré dans le diagramme ci-dessous qui utilise la fonction de distribution cumulative normale (et son inverse) comme exemple.
Exemple
À titre d'exemple simple, vous pouvez prendre une distribution Gumbel standard . Sa fonction de distribution cumulée est
et elle peut être facilement inversée: la fonction de rappel du logarithme naturel est l'inverse de la fonction exponentielle , il est donc instantanément évident que la fonction quantile pour la distribution de Gumbel est
Comme vous pouvez le voir, la fonction quantile, selon son autre nom, "inverse" le comportement de la fonction de distribution cumulative.
Fonction de distribution inverse généralisée
Toutes les fonctions n'ont pas d'inverse. C'est pourquoi la citation à laquelle vous faites référence dit "fonction augmentant monotone". Rappelons qu'à partir de la définition de la fonction , elle doit affecter à chaque valeur d'entrée exactement une sortie. Les fonctions de distribution cumulative pour les variables aléatoires continues satisfont à cette propriété car elles augmentent de façon monotone. Pour les variables aléatoires discrètes, les fonctions de distribution cumulative ne sont pas continues et croissantes, nous utilisons donc des fonctions de distribution inverse généralisées qui doivent être non décroissantes. Plus formellement, la fonction de distribution inverse généralisée est définie comme
La définition, traduite en anglais simple, dit que pour une valeur de probabilité donnée , nous recherchons un certain , ce qui entraîne une valeur de retour supérieure ou égale à , mais comme il pourrait y avoir plusieurs valeurs de qui répondent à cette (par exemple est vrai pour tout ), nous prenons donc le plus petit de ceux-ci.p X F( x ) p X F( x ) ≥ 0 x x X X
Fonctions sans inverses
En général, il n'y a pas d'inverses pour les fonctions qui peuvent renvoyer la même valeur pour différentes entrées, par exemple les fonctions de densité (par exemple, la fonction de densité normale standard est symétrique, elle renvoie donc les mêmes valeurs pour et etc.). La distribution normale est un exemple intéressant pour une raison supplémentaire: c'est l'un des exemples de fonctions de distribution cumulative qui n'ont pas d'inverse de forme fermée . Toutes les fonctions de distribution cumulative ne doivent pas nécessairement avoir une inverse de forme fermée ! Espérons que dans de tels cas, les inverses peuvent être trouvées en utilisant des méthodes numériques.- 2 2
Cas d'utilisation
La fonction quantile peut être utilisée pour la génération aléatoire comme décrit dans Comment fonctionne la méthode de transformation inverse?
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Tim a eu une réponse très complète. Bon travail!
Je voudrais ajouter une dernière remarque. Toutes les fonctions à croissance monotone n'ont pas de fonction inverse. En fait, seules les fonctions strictement croissantes / décroissantes monotones ont des fonctions inverses.
Pour les cdf à augmentation monotone qui ne sont pas strictement à croissance monotone, nous avons une fonction quantile qui est également appelée fonction de distribution cumulative inverse. Vous pouvez trouver plus de détails ici .
Les fonctions inverses (pour celles qui augmentent strictement le cdf) et les fonctions quantiles (pour celles qui augmentent monotone mais pas strictement les augmentations cdot) peuvent être notées , ce qui peut parfois prêter à confusion.F- 1
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