Distribution d'une distance de Mahalanobis au niveau de l'observation

Si j'ai un échantillon iid normal multivarié , et définissez (qui est une sorte de distance de Mahalanobis [au carré] d'un point d'échantillon au vecteur utilisant la matrice pour la pondération), quelle est la distribution de (distance de Mahalanobis au moyenne de l'échantillon utilisant la matrice de covariance de l'échantillon )? $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

Je regarde un article qui prétend que c'est $\chi^2_p$ , mais c'est évidemment faux: la $\chi^2_p$ aurait été obtenue pour $d_i^2(\mu,\Sigma)$ utilisant le vecteur moyen de population (inconnu) et matrice de covariance. Lorsque les exemples d'échantillons sont branchés, il faut obtenir une distribution Hotelling $T^{\ 2}$ , ou une distribution $F(\cdot)$ échelle, ou quelque chose comme ça, mais pas le $\chi^2_p$ . Je n'ai pu trouver le résultat exact ni dans Muirhead (2005) , ni dans Anderson (2003) , ni dans Mardia, Kent et Bibby (1979, 2003). Apparemment, ces gars-là ne se sont pas souciés des diagnostics aberrants, car la distribution normale multivariée est parfaite et est facilement obtenue à chaque fois que l'on recueille des données multivariées: - /.

Les choses peuvent être plus compliquées que cela. Le résultat de la distribution de Hotelling $T^{\ 2}$ est basé sur l'hypothèse d'une indépendance entre la partie vectorielle et la partie matricielle; cette indépendance est valable pour $\bar X$ et $S$ , mais il ne détient plus pour $X_i$ et $S$ .

multivariate-analysis outliers StasK
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Dans la définition de

d_{i}^{2}

$d_i^2$ , considérez-vous toujours

X_{i}

$X_i$ comme une variable aléatoire ou la

-vous maintenant comme un vecteur fixe? L'inclusion de l'indice suggère ce dernier, mais cela semble un peu étrange.

whuber

Juste une petite note latérale, mais notez que

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$ est accessoire par rapport à

μ

$\mu$ et

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$ est égal à une constante fixe ( devrait être

n - p

$n-p$ , ou similaire, je pense) presque sûrement.

cardinal du

@whuber - peut-être pour souligner qu'il est calculé en utilisant une observation de l'échantillon, pas une nouvelle observation?

jbowman

@whuber, à peu près dans le sens de ce que jbowman a dit - pour indiquer qu'il s'agit d'une statistique au niveau de l'observation (par opposition à une statistique au niveau de l'échantillon, comme la moyenne de l'échantillon).

StasK

La distribution de est une bêta, , mais je cherche toujours la distribution de . Les distributions des ne sont pas indépendantes.

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$

d_{i}^{2}

$d^2_i$

Réponses:

Découvrez la modélisation des mélanges gaussiens en exploitant la distance de Mahalanobis ( lien alternatif ). Voir page n ° 13, deuxième colonne. Les auteurs ont également donné des preuves pour dériver la distribution. La distribution est mise à l'échelle bêta. Veuillez me faire savoir si cela ne fonctionne pas pour vous. Sinon, je pourrais vérifier tout indice dans le livre SS Wilks demain.

vinux
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La réponse donnée dans le document est:

. Merci!

\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

StasK

Il existe 3 distributions pertinentes. Comme indiqué, si les vrais paramètres de population sont utilisés, alors la distribution est khi carré avec . Il s'agit également de la distribution asymptotique avec des paramètres estimés et une grande taille d'échantillon. $df=p$

Une autre réponse donne la distribution correcte pour la situation la plus courante, avec des paramètres estimés lorsque l'observation elle-même fait partie de l'ensemble d'estimation: Cependant, si l'observationest indépendante des estimations des paramètres, alors la distribution est proportionnelle à la distribution d'un rapport F de Fisher:

\frac{n (d^{2})}{(n - 1)^{2}} \sim B e t a (\frac{p}{2}, \frac{(n - p - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$

x_{i}

$x_i$

(\frac{n d^{2} (n - p)}{(p (n - 1) (n + 1)}) \sim F (p, n - p)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

Joe Sullivan
la source

Bienvenue sur le site, @JoeSullivan. J'ai pris la liberté d'utiliser

pour faciliter la lecture de vos équations. Veuillez vous assurer qu'ils disent toujours ce que vous voulez.

L A T E X

$\LaTeX$

gung - Rétablir Monica

pouvez-vous donner une référence pour la formule F?

eyaler

une référence connexe, la section 3 dans Hardin, Johanna et David M. Rocke. 2005. «La distribution des distances robustes». Journal of Computational and Graphical Statistics 14 (4): 928–46. doi: 10.1198 / 106186005X77685.

Josef