Quelle est l'hypothèse nulle du test de Mann-Whitney?

Soit une valeur aléatoire de la distribution 1 et soit une valeur aléatoire de la distribution 2. Je pensais que l'hypothèse nulle pour le test de Mann-Whitney était .$X_1$$X_2$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$

Si je lance des simulations du test de Mann-Whitney sur des données de distributions normales avec des moyennes et des variances égales, avec , j'obtiens des taux d'erreur de type I qui sont très proches de 0,05. Cependant, si je rend les variances inégales (mais laisse les moyennes égales), la proportion de simulations dans lesquelles l'hypothèse nulle est rejetée devient supérieure à 0,05, ce à quoi je ne m'attendais pas, car P (X_1 <X_2) = P (X_2 <X_1) tient toujours. Cela se produit lorsque je l' utilise dans R, que je , ou .$\alpha=0.05$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$wilcox.testexact=TRUEexact=FALSE, correct=TRUEexact=FALSE, correct=FALSE

L'hypothèse nulle est-elle quelque chose de différent de ce que j'ai écrit ci-dessus, ou est-ce simplement que le test est inexact en termes d'erreur de type I si les variances sont inégales?

De Hollander & Wolfe pp 106-7,

Soit la fonction de distribution correspondant à la population 1 et la fonction de distribution correspondant à la population 2. L'hypothèse nulle est: pour chaque . L'hypothèse nulle affirme que la variable et la variable ont la même distribution de probabilité, mais la distribution commune n'est pas spécifiée.$F$$G$$H_O: F(t)=G(t)$$t$$X$$Y$

Strictement parlant, cela décrit le test de Wilcoxon, mais , ils sont donc équivalents.$U=W-\frac{n(n+1)}{2}$