Méthodes de rotation des facteurs (varimax, oblimin, etc.) - que signifient les noms et que font les méthodes?

L'analyse factorielle a plusieurs méthodes de rotation, telles que varimax, quartimax, equamax, promax, oblimin, etc. Je ne trouve aucune information qui relie leurs noms à leurs actions mathématiques ou statistiques réelles. Pourquoi est-il appelé "equa-max" ou "quarti-max"? De quelle manière les axes ou les matrices tournent-ils pour qu'ils aient un tel nom?

Malheureusement, la plupart d'entre eux ont été inventés dans les années 1950-1970, je ne peux donc pas contacter leurs auteurs.

Cette réponse succède à cette question générale sur les rotations en analyse factorielle (veuillez la lire) et décrit brièvement un certain nombre de méthodes spécifiques.

Les rotations sont effectuées de manière itérative et sur chaque paire de facteurs (colonnes de la matrice de chargement). Cela est nécessaire car la tâche d'optimiser ( max imize ou min imize) le critère objectif simultanément pour tous les facteurs serait mathématiquement difficile. Cependant, à la fin, la matrice de rotation finale est assemblée afin que vous puissiez reproduire la rotation vous-même avec elle, en multipliant les chargements extraits par elle, , en obtenant la matrice de structure de facteur pivotée . Le critère objectif est une propriété des éléments (chargements) de la matrice résultante .A A Q = S S $\bf Q$$\bf A$$\bf AQ=S$$\bf S$$\bf S$

Quartimax rotation orthogonal vise à max imize la somme de toutes les charges soulevées à la puissance 4 en . D'où son nom ("quarti", quatre). Il a été montré que l'atteinte de cet objectif mathématique correspond suffisamment à la satisfaction du critère de "structure simple" du 3ème Thurstone qui sonne comme: pour chaque paire de facteurs, il y a plusieurs (idéalement> = m) variables avec des charges proches de zéro pour l'un des deux et loin de zéro pour l'autre facteur . En d'autres termes, il y aura beaucoup de grandes et de nombreuses petites charges; et les points sur le tracé de chargement dessiné pour une paire de facteurs tournés seraient, idéalement, situés près de l'un des deux axes. Quartimax minimise ainsi le nombre de facteurs nécessaires pour expliquer une variable$\bf S$: il "simplifie" les lignes de la matrice de chargement. Mais quartimax produit souvent ce que l'on appelle le "facteur général" (qui, la plupart du temps, n'est pas souhaitable dans l'AF des variables; il est plus souhaitable, je crois, dans ce que l'on appelle l'AF en mode Q des répondants).

Varimax rotation orthogonal tente de max imize variance des charges au carré de chaque élément dans . D'où son nom ( var iance). En conséquence, chaque facteur n'a que peu de variables avec des charges importantes par le facteur$\bf S$. Varimax "simplifie" directement les colonnes de la matrice de chargement et facilite ainsi grandement l'interprétabilité des facteurs. Sur la courbe de chargement, les points sont largement répartis le long d'un axe factoriel et ont tendance à se polariser en presque zéro et loin de zéro. Cette propriété semble satisfaire dans une certaine mesure un mélange des points de structure simples de Thurstones. Varimax n'est cependant pas à l'abri de produire des points éloignés des axes, c'est-à-dire des variables "complexes" chargées à plus d'un facteur. Que ce soit mauvais ou correct dépend du domaine d'étude. Varimax fonctionne bien principalement en combinaison avec la normalisation dite de Kaiser(égalisation temporaire des communautés pendant la rotation), il est conseillé de toujours l'utiliser avec varimax (et recommandé de l'utiliser également avec toute autre méthode). C'est la méthode de rotation orthogonale la plus populaire, en particulier en psychométrie et en sciences sociales.

La rotation orthogonale Equamax (rarement, Equimax) peut être considérée comme une méthode permettant d'affiner certaines propriétés du varimax. Il a été inventé dans le but de l'améliorer encore. L'égalisation fait référence à une pondération spéciale que Saunders (1962) a introduite dans une formule de travail de l'algorithme. Equamax s'ajuste automatiquement pour le nombre de facteurs en rotation. Il tend à répartir les variables (fortement chargées) plus uniformément entre les facteurs que varimax et est donc plus enclin à donner des facteurs "généraux". D'un autre côté, equamax n'a pas été conçu pour abandonner l'objectif du quartimax de simplifier les lignes; equamax est plutôt une combinaison de varimax et quartimaxque leur entre-deux. Cependant, equamax serait considérablement moins «fiable» ou «stable» que varimax ou quartimax: pour certaines données, il peut donner des solutions désastreuses, tandis que pour d'autres données, il donne des facteurs parfaitement interprétables avec une structure simple. Une autre méthode, similaire à Equamax et encore plus aventurée en quête d'une structure simple, est appelée parsimax («maximisation de la parcimonie») (voir Mulaik, 2010, pour discussion).

Je suis désolé de m'arrêter maintenant et de ne pas revoir les méthodes obliques - oblimin ("oblique" avec "minimiser" un critère) et promax ( rotation pro crustes sans restriction après vari max ). Les méthodes obliques nécessiteraient probablement des paragraphes plus longs pour les décrire, mais je n'ai pas prévu de réponse longue aujourd'hui. Les deux méthodes sont mentionnées dans la note de bas de page 5 de cette réponse . Je peux vous référer à Mulaik, Fondements de l'analyse factorielle (2010); livre classique de l'ancien Harman Modern factor analysis (1976); et tout ce qui apparaît sur Internet lorsque vous effectuez une recherche.

Voir aussi La différence entre les rotations varimax et oblimin dans l'analyse factorielle ; Que signifie «varimax» dans l'analyse factorielle SPSS?

Les méthodes de rotation optimisent les fonctions heuristiques dans le but de "simplifier" les chargements factoriels. La simplicité peut être définie de différentes manières. Les plus couramment utilisés proviennent de Thurnstone [2]: clarté , simplicité et parcimonie des colonnes, simplicité des lignes (ou complexité). La plupart des critères de rotation concernent l'un ou l'autre des deux, leurs noms ne sont pas vraiment importants.

Des critères uniques sont inclus dans les familles de critères: le plus complet est celui de Crawford-Ferguson, qui est équivalent à la famille Orthomax pour les rotations orthogonales. Ces familles permettent de peser les deux exigences de simplicité contrôlées par différents paramètres. En les modifiant, presque tous les critères de rotation connus peuvent être obtenus. Un excellent et accessible aperçu des méthodes de rotation est le document de Browne.

[1] M. Browne, An overview of analytic rotation in exploratory factor analysis, Multivariate Behavioral Research 36 (2001), pp. 111–150.

[2] L. Thurstone, analyse multifactorielle, University of Chicago Press, 1947