Pourquoi une matrice de projection d'une projection orthogonale est-elle symétrique?

Je suis assez nouveau dans ce domaine, j'espère donc que vous me pardonnerez si la question est naïve. (Contexte: j'apprends l'économétrie à partir du livre de Davidson & MacKinnon "Econometric Theory and Methods" , et ils ne semblent pas l'expliquer; j'ai également regardé le livre d'optimisation de Luenberger qui traite des projections à un niveau un peu plus avancé, mais sans chance).

Supposons que je suis une projection orthogonale $\mathbb P$ avec la matrice est associée projection . Je souhaite projeter chaque vecteur de dans un sous-espace .$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

Question : pourquoi s'ensuit-il que , c'est-à-dire que est symétrique? Quel manuel pourrais-je consulter pour ce résultat?$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

Il s'agit d'un résultat fondamental de l'algèbre linéaire sur les projections orthogonales. Une approche relativement simple est la suivante. Si sont des vecteurs orthonormés couvrant un m sous - espace de dimension A , et U est le n × p matrice avec l' u i « s en tant que colonnes, alors P = U U T . Cela découle directement du fait que la projection orthogonale de x sur A peut être calculée en fonction de la base orthonormale de A comme $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ Il découle directement de la formule cidessus queP2=Pet quePT=P $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Il est également possible de donner un argument différent. Si est une matrice de projection pour une projection orthogonale, alors, par définition, pour tout x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . Par conséquent, 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
pour tout x , y ∈ R n . Cela montre que P T = P T P , où P = ( P T ) T = ( P T P ) T = P T P = P T $$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Une tentative d'intuition géométrique ... Rappelons que:

1. Une matrice symétrique est auto-adjointe.
2. Un produit scalaire est déterminé uniquement par les composantes de l' espace linéaire mutuel (et indépendant des composantes orthogonales de n'importe lequel des vecteurs).

$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$$y$$\langle Ax,Ay \rangle$$\langle Ax,y\rangle$

$A$