Peut-on toujours réécrire une distribution asymétrique droite en termes de composition d'une distribution arbitraire et symétrique?

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Considérons une distribution deux fois différentiable et symétrique . Considérons maintenant une seconde distribution deux fois différentiable rigth asymétrique en ce sens que:FXFZ

(1)FXcFZ.

où est l'ordre convexe de van Zwet [0] de sorte que est équivalent à:c(1)

(2)FZ1FX(x) is convex xR.

Considérons maintenant une troisième distribution deux fois différentiable satisfaisante:FY

(3)FYcFZ.

Ma question est: peut-on toujours trouver une distribution et une distribution symétrique pour réécrire n'importe quel (tous les trois définis comme ci-dessus) en termes de composition de et comme:FYFXFZFXFY

FZ(z)=FYFX1FY(z)

ou pas?

Éditer:

Par exemple, si est le Weibull avec le paramètre de forme 3.602349 (pour qu'il soit symétrique) et est la distribution de Weibull avec le paramètre de forme 3/2 (pour qu'il soit asymétrique à droite), Je reçoisFXFZ

maxz|FZ(z)FYFX1FY(z)|0

en définissant comme distribution de Weibull avec le paramètre de forme 2.324553. Notez que les trois distributions satisfont:FY

FX=FXcFYcFZ,
besoins. Je me demande si cela est vrai en général (dans les conditions énoncées).
  • [0] van Zwet, WR (1979). Moyenne, médiane, mode II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, numéro 1, pages 1 à 5.
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Réponses:

3

Non!

Un contre-exemple simple est fourni par la distribution de Tukey (le cas spécial pour de la distribution de Tukey et ).gh=0gh

Par exemple, soit soit le Tukey avec le paramètre et soit le Tukey avec le paramètre et une distribution Tukey pour laquelle . Puisque , ces trois distributions satisfont:FXggX=0FZggZ>0FYggYgZh=0

FX=FXcFYcFZ.

(le premier vient de la définition du Tukey qui est symétrique si , les suivants de [0], Théorème 2.1 (i)).gg=0

Par exemple, pour , nous avons:gZ=0.5

mingYgZmaxz|FZ(z)FYFX1FY(z)|0.005>0

(pour une raison quelconque, le minimum semble toujours être proche de ).gYgZ/2

  • [0] Propriétés de la forme HL MacGillivray des familles g-and-h et Johnson. Comm. Statist. — Theory Methods, 21 (5) (1992), p. 1233-1250

Éditer:

Dans le cas du Weibull, l'affirmation est vraie:

Soit la distribution de Weibull avec le paramètre de forme (le paramètre d'échelle n'affecte pas l'ordre convexe, nous pouvons donc le mettre à 1 sans perte de généralité). De même , et et .FZwZFYFXwYwX

Notons tout d'abord que trois distributions de Weibull peuvent toujours être ordonnées dans le sens de [0].

Ensuite, notez que:

FX=FXwX=3.602349.

Maintenant, pour le Weibull:

FY(y)=1exp((y)wY),FY1(q)=(ln(1q))1/wY,

pour que

FYFX1FY(z)=1exp(zwY2/wX),

depuis

FZ(z)=1exp(zwZ).

Par conséquent, la revendication peut toujours être satisfaite en définissant .wY=wZ/wX

  • [0] van Zwet, WR (1979). Moyenne, médiane, mode II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, numéro 1, pages 1 à 5.
  • [1] Groeneveld, RA (1985). Asymétrie pour la famille Weibull. Statistica Neerlandica. Volume 40, numéro 3, pages 135–140.
user603
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