Cette distribution a-t-elle un nom? Ou quel est un processus stochastique qui pourrait le générer?

C'est une loi de pouvoir discrète.

(Il s'agit d'une description - dont le sens sera précisé ci-dessous - plutôt que d'un terme technique. L'expression "loi de puissance discrète" a une signification technique légèrement différente, comme indiqué par @Cardinal dans les commentaires de cette réponse.)

Pour voir cela, notez que la décomposition partielle des fractions peut s'écrire

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

Les télescopes CDF sous une forme fermée:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

( , car cela est facilement inversé, il fournit immédiatement un moyen efficace de générer des variables aléatoires à partir de cette distribution: il suffit de calculer oùest uniformément réparti sur.) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

La différenciation de cette expression par rapport à montre comment le CDF peut être écrit comme une intégrale, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

D'où

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

$k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

$p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

whuber
la source

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

p

$p$

Je ne suis pas sûr de la distinction que vous essayez de faire. Malheureusement, je n'ai pas eu l'occasion d'y réfléchir attentivement, mais il semble que vous définissiez une distribution de loi de puissance discrète comme une version discrétisée d'une distribution de loi de puissance continue. Suis-je en train d'interpréter correctement votre commentaire? En tout cas, quand je vois des références à des lois de puissance discrètes dans la littérature, la définition habituelle semble être la plus faible (c'est-à-dire asymptotique) que j'ai utilisée. (suite)

cardinal

(Suite) D'un autre côté, une distribution Zipf semble être aussi pure que possible d'une loi de puissance discrète, mais je ne pense pas qu'elle puisse être générée comme une discrétisation d'une loi de puissance continue. Ai-je mal interprété votre intention? (Soit dit en passant, votre développement ci-dessus est assez agréable. La reconnaissance de la somme télescopique pour le cdf est excellente, tout comme la reconnaissance d'un schéma d'échantillonnage facile.)

Cardinal

Cette distribution a-t-elle un nom? Ou quel est un processus stochastique qui pourrait le générer?

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