Il est bien connu qu'une combinaison linéaire de 2 variables normales aléatoires est également une variable normale aléatoire. Y a-t-il des familles de distribution non normales communes (par exemple, Weibull) qui partagent également cette propriété? Il semble y avoir de nombreux contre-exemples. Par exemple, une combinaison linéaire d'uniformes n'est généralement pas uniforme. En particulier, existe-t-il des familles de distribution non normales où les deux conditions suivantes sont vraies:
- Une combinaison linéaire de deux variables aléatoires de cette famille équivaut à une certaine distribution dans cette famille.
- Le ou les paramètres résultants peuvent être identifiés en fonction des paramètres d'origine et des constantes dans la combinaison linéaire.
Je suis particulièrement intéressé par cette combinaison linéaire:
où et sont échantillonnés dans une famille non normale, avec les paramètres \ theta_1 et \ theta_2 , et Y provient de la même famille non normale avec le paramètre \ theta_Y = f (\ theta_1, \ theta_2, w) .X 2 θ 1 θ 2 Y θ Y = f ( θ 1 , θ 2 , w )
Je décris une famille de distribution avec 1 paramètre pour plus de simplicité, mais je suis ouvert aux familles de distribution avec plusieurs paramètres.
De plus, je cherche des exemples où il y a beaucoup d'espace de paramètres sur et pour travailler à des fins de simulation. Si vous ne pouvez trouver qu'un exemple qui fonctionne pour certains et très spécifiques , ce serait moins utile.θ 2 θ 1 θ 2
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Il est bien connu qu'une combinaison linéaire de 2 variables normales aléatoires est également une variable normale aléatoire. Y a-t-il des familles de distribution non normales communes (par exemple, Weibull) qui partagent également cette propriété?
La distribution normale satisfait une belle identité de convolution: . Si vous faites référence au théorème de la limite centrale, alors par exemple, ces distributions gamma avec le même coefficient de forme partageraient cette propriété et se transformeraient en distributions gamma. Veuillez consulter une mise en garde concernant l'invocation du théorème de la limite centrale . En général, cependant, avec des coefficients de forme inégaux, les distributions gamma «s'ajouteraient» par une convolution qui ne serait pas une distribution gamma mais plutôt une fonction gamma multipliant une fonction hypergéométrique du premier type telle que trouvée dans l'équation. (2) deX1∼ N[ μ1, σ21] , X2∼ N[ μ2, σ22] ⟹ X1+ X2∼ N[ μ1+ μ2, σ21+ σ22] convolution de deux distributions gamma . L'autre définition de l'addition, c'est-à-dire la formation d'un mélange de distribution de processus non liés, ne présenterait pas nécessairement de limite centrale, par exemple, si les moyens sont différents.
Il y a probablement d'autres exemples, je n'ai pas fait de recherche exhaustive. La clôture de la convolution ne semble pas exagérée. Pour une combinaison linéaire, le produit de Pearson VII avec un Pearson VII est un autre Pearson VII .
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J'ai l'impression que vous recherchez la classe des distributions stables de Levy . Il s'agit de la classe de toutes les distributions qui satisfont la propriété de stabilité:P P∈P
En d'autres termes, pour chaque distribution de cette classe, si vous prenez une fonction linéaire de deux variables aléatoires indépendantes avec cette distribution, cela a la même distribution qu'une fonction affine d'une seule variable aléatoire avec cette distribution. (Notez que cette exigence de stabilité peut être resserrée en fixant , ce qui donne la sous-classe des distributions strictement stables .)d=0
Les distributions Levy-stables peuvent être considérées comme une famille de distributions à part entière, et en ce sens c'est la seule famille de distributions avec cette propriété de stabilité, car (par définition) elle englobe toutes les distributions avec cette propriété. La distribution normale appartient à la classe des distributions stables de Levy, tout comme la distribution de Cauchy , la distribution de Landau et la distribution de Holtsmark .
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