Définition de la dépendance de queue

J'ai essayé de trouver une définition simple et concise de ce qu'est la dépendance à la queue. Quelqu'un pourrait-il partager ce qu'il pense être?

Deuxièmement, si je devais tracer des simulations en utilisant différentes copules sur un graphique, comment saurais-je lesquelles présentent une dépendance de queue.

la définition de la dépendance de queue supérieure de rv et avec leurs distributions marginales respectives F et G, est: (Embrechts et al. (2001)). C'est la probabilité que Y atteigne des valeurs extrêmement grandes, étant donné que la variable aléatoire X atteint des valeurs extrêmement grandes. On peut donc comprendre d'une manière que plus le \ lambda est proche de un, plus le lien entre X atteignant des valeurs élevées et Y atteignant des valeurs élevées est également proche.$X$$Y$$\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$$\lambda$

Dire si les copules présentent une dépendance de la queue n'est pas difficile dans les cas extérieurs: ce qui importe est de savoir si les (deux) variables apparaissent se comportent plus étroitement dans les coins du graphique qu'au centre.

La copule gaussienne n'a pas de dépendance de queue - bien que les variables aléatoires soient fortement corrélées, il ne semble pas y avoir de relation spéciale, aucune des variables n'atteignant de grandes valeurs (dans les coins du graphique).

L'absence de dépendance de la queue devient apparente lorsque le tracé est comparé au tracé de simulations à partir des mêmes marginaux mais avec la copule T-2.

Les T-copules ont la dépendance de la queue et la dépendance augmente avec la corrélation et diminue avec le nombre de degrés de liberté. Si plus de points étaient simulés, de sorte qu'une plus grande partie du carré de l'unité était couverte, nous verrions presque les points une fine ligne dans les coins supérieur droit et inférieur gauche. Mais même sur le graphique, il est évident que dans les quadrants supérieur droit et inférieur gauche - c'est-à-dire lorsque les deux variables atteignent des valeurs très faibles ou très élevées - les deux variables semblent être encore plus étroitement corrélées que dans le corps.

Les marchés financiers ont tendance à présenter une dépendance à la queue, en particulier une dépendance à la queue plus faible. Par exemple, les principaux rendements boursiers en temps normal ont une corrélation d'environ 0,5, mais en septembre / octobre 2008, certaines paires avaient une corrélation supérieure à 0,9 - elles chutaient toutes deux massivement. La copule gaussienne était utilisée avant les crises pour la tarification des produits de crédit venus et comme elle ne tenait pas compte de la dépendance de la queue, elle sous-estimait les pertes potentielles lorsque de nombreux propriétaires de maison devenaient incapables de payer. Les paiements des propriétaires peuvent être compris comme des variables aléatoires - et ils se sont révélés être fortement corrélés au moment où de nombreuses personnes ont commencé à avoir des difficultés à payer leurs hypothèques. Étant donné que ces défauts étaient étroitement liés en raison d'un climat économique défavorable, les résultats ont montré une dépendance à la queue.

PS: Techniquement parlant, les images montrent des distributions multivariées générées à partir des copules et des marginaux normaux.

La dépendance de la queue se produit lorsque la corrélation entre deux variables augmente à mesure que vous vous éloignez «davantage» de la queue (ou des deux) de la distribution. Comparez une copule de Clayton avec une copule de Frank.

Le Clayton a une dépendance à gauche. Cela signifie que, lorsque vous vous éloignez plus à gauche (valeurs plus petites), les variables deviennent plus corrélées. Le Frank (et le gaussien d'ailleurs) est symétrique. Si la corrélation est de 0,45, elle est de 0,45 sur toute l'étendue de la distribution.

Les systèmes économiques ont tendance à montrer une dépendance de queue. Par exemple, prenons le risque de crédit des réassureurs. Lorsque les pertes globales sont normales, que le réassureur A ou le réassureur B ne paie pas ses paiements à un assureur peut sembler non corrélé ou très faiblement corrélé. Imaginez maintenant qu'une série de victimes s'est produite (comme les ouragans Rita, Wilma, Ida, etc.). Aujourd'hui, l'ensemble du marché est frappé l'un après l'autre par d'énormes demandes de paiement, ce qui peut entraîner un problème de liquidité auquel de nombreux réassureurs seront confrontés en raison de l'ampleur du problème et des demandes simultanées de leurs assurés. Leur capacité de payer est désormais beaucoup plus corrélée. Ceci est un exemple dans lequel une copule avec une dépendance à droite est nécessaire.

La dépendance à la queue, du moins si je comprends bien, a expliqué à quelqu'un ayant des antécédents de statistiques limités.

Imaginez que vous ayez deux variables, X et Y. Avec 100 000 observations de chacune. Les observations sont liées dans un sens. Peut-être qu'ils ont été générés à l'aide d'une copule ou que vous avez les valeurs de retour de deux actions fortement corrélées au cours de 100 000 périodes.

Regardons le pire 1% des observations pour X. Cela fait 1 000 observations. Regardez maintenant la valeur correspondante pour Y dans ces 1 000 observations. Si X et Y étaient indépendants, vous vous attendriez à ce que 10 observations de ces 1 000 observations fassent partie des pires valeurs de 1% de Y.

Le nombre réel d'observations est susceptible d'être supérieur à 10 lorsque les valeurs de X et Y ne sont pas indépendantes dans les queues, c'est ce que nous appelons la dépendance de la queue .