Pourquoi utiliser la méthode Monte Carlo au lieu d'une simple grille?

lors de l'intégration d'une fonction ou dans des simulations complexes, j'ai vu que la méthode de Monte Carlo est largement utilisée. Je me demande pourquoi on ne génère pas une grille de points pour intégrer une fonction au lieu de dessiner des points aléatoires. Cela n'apporterait-il pas des résultats plus exacts?

J'ai trouvé les chapitres 1 et 2 de ces notes de cours utiles lorsque j'ai posé la même question il y a quelques années. Un bref résumé: Une grille avec points dans un espace à 20 dimensions exigera évaluations de fonctions. C'est beaucoup. En utilisant la simulation de Monte Carlo, nous esquivons dans une certaine mesure la malédiction de la dimensionnalité. La convergence d'une simulation de Monte Carlo est qui est, quoique assez lent, indépendant des dimensions .N $N$$N^{20}$$O(N^{-1/2})$

Bien sûr que oui; cependant, il est livré avec une utilisation beaucoup plus importante du processeur. Le problème augmente surtout dans de nombreuses dimensions, où les grilles deviennent effectivement inutilisables.

Les commentaires précédents ont raison car la simulation est plus facile à utiliser dans les problèmes multidimensionnels. Cependant, il existe des moyens de répondre à votre préoccupation - jetez un œil à http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence et http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid .

Alors que l'on considère généralement l'échantillonnage par rejet lors de l'examen de Monte Carlo, Markov Chain Monte Carlo permet d'explorer un espace de paramètres multidimensionnel plus efficacement qu'avec une grille (ou un échantillonnage de rejet d'ailleurs). La façon dont MCMC peut être utilisé pour l'intégration est clairement indiquée dans ce tutoriel - http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf

Deux choses -

1. Une convergence plus rapide en évitant la malédiction de la dimensionnalité. Parce que la plupart des points d'une grille se trouvent sur le même hyper plan sans apporter d'informations supplémentaires significatives. Les points aléatoires remplissent uniformément l'espace à N dimensions. LDS est encore mieux.

2. Parfois, pour les méthodes de Monte carlo, nous avons besoin de points statistiquement aléatoires dans aucun ordre particulier. Une séquence ordonnée de points de grille entraînera de mauvaises propriétés statistiques.