Calculer le quantile de la somme des distributions à partir de quantiles particuliers

Supposons variables aléatoires indépendantes pour lesquelles les quantiles à un niveau spécifique sont connus par estimation à partir des données: , ..., . Définissons maintenant la variable aléatoire comme la somme . Existe-t-il un moyen de calculer la valeur du quantile de la somme au niveau , c'est-à-dire q_z dans \ alpha = P (Z <q_Z) ?$N$$X_1, ..., X_N$$\alpha$$\alpha = P(X_1 < q_1)$$\alpha = P(X_N < q_N)$$Z$$Z = \sum_{i=1}^N X_i$$\alpha$$q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$

Je pense que dans des cas particuliers, comme si $X_i$ suit une distribution gaussienne $\forall i$ c'est facile, mais je ne suis pas sûr pour le cas où la distribution de $X_i$ est inconnue. Des idées?

$q_Z$ pourrait être n'importe quoi.

Pour comprendre cette situation, faisons une simplification préalable. En travaillant avec nous obtenons une caractérisation plus uniforme$Y_i = X_i - q_i$

C'est-à-dire que chaque a la même probabilité d'être négatif. Parce que$Y_i$

l'équation de définition de est équivalente à$q_Z$

avec .$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Quelles sont les valeurs possibles de ? Considérons le cas où les ont tous la même distribution avec toutes les probabilités sur deux valeurs, l'une négative ( ) et l'autre positive ( ). Les valeurs possibles de la somme sont limitées à pour . Chacun d'eux se produit avec probabilitéY i y - y + W k y - + ( n - k ) y + k = 0 , 1 , … , $q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

Les extrêmes peuvent être trouvés par

1. Choisir et pour que ; et accomplira cela. Cela garantit que sera négatif sauf lorsque tous les sont positifs. Cette chance est égale à . Il dépasse lorsque , ce qui implique que le quantile de doit être strictement négatif. y + y - + ( n - 1 ) y + < 0 y - = - n y + = 1 W Y i 1 - ( 1 - α ) n α n > 1 α $y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. Choisir et pour que ; et accomplira cela. Cela garantit que ne sera négatif que lorsque tous les seront négatifs. Cette chance est égale à . Il est inférieur à lorsque , ce qui implique que le quantile de doit être strictement positif. y + ( n - 1 ) y - + y + > 0 y - = - 1 y + = n W Y i α n α n > 1 α $y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

Cela montre que le quantile de peut être négatif ou positif, mais n'est pas nul. Quelle pourrait être sa taille? Il doit être égal à une combinaison linéaire intégrale de et . Faire ces deux valeurs entières garantit que toutes les valeurs possibles de sont intégrales. Lors de la mise à l'échelle de par un nombre positif arbitraire , nous pouvons garantir que toutes les combinaisons linéaires intégrales de et sont des multiples entiers de . Puisque , il doit avoir au moins en taille . Par conséquent,W y - y + W y ± s y - y + s q W ≠ 0 s q W q Z n > $\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$les valeurs possibles de (et d'où ) sont illimitées,$q_W$$q_Z$ peu importe ce que peut égaler.$n\gt 1$

La seule façon de dériver des informations sur serait de faire des contraintes spécifiques et fortes sur les distributions du , afin d'empêcher et de limiter le type de distributions déséquilibrées utilisées pour dériver ce résultat négatif.X $q_Z$$X_i$