Régression avec variable indépendante inverse

Supposons que j'ai un -vecteur Y de variables dépendantes et un N -vecteur X de variable indépendante. Lorsque Y est tracé contre $N$$Y$$N$$X$$Y$ , je vois qu'il y a une relation linéaire (tendance à la hausse) entre les deux. Maintenant, cela aussi signifie qu'il ya une tendancebaisse linéaire entreYetX.$\frac{1}{X}$$Y$$X$

Maintenant, si je lance la régression: et obtenir la valeur ajustée Y = β$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Ensuite, je lance la régression: etobtenir la valeur ajustée ~ Y = α$Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

Est-ce que les deux valeurs et ~ Y être à peu près égale?$\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 Lorsque Y est tracé contre , je vois qu'il y a une relation linéaire (tendance à la hausse) entre les deux. Maintenant, cela signifie également qu'il existe une tendance linéaire à la baisse entre Y et X$\frac{1}{X}$

La dernière phrase est fausse: il y a une tendance à la baisse, mais elle n'est en aucun cas linéaire:

J'ai utilisé un en fonction plus un peu de bruit surY. Comme vous pouvez le voir, tout en traçantYcontre$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$ donne un comportement linéaire,YcontreXest loin d'être linéaire.$\frac{1}{X}$$Y$$X$

(@whuber souligne que le contre $Y$ intrigue X n'a pas l'air homoscédastique. Je pense qu'il semble y avoir une variance plus élevée pour unYfaiblecar la densité de cas beaucoup plus élevée conduit à une plus grande plage, ce qui est essentiellement ce que nous percevons. En fait, les données sont homoscédastiques: j'avais l'habitudede générer les données, donc pas de dépendance sur la taille deX.)$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

Donc, en général, la relation est très non linéaire. Autrement dit, à moins que votre plage de soit si étroite que vous pouvez approximer d $X$Voici un exemple:$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Conclusion:

• En général, il est très difficile d'approcher un Fonction de type X par une fonction linéaire ou polynomiale. Et sans terme de décalage, vous n'obtiendrez jamais une approximation raisonnable.$\frac{1}{X}$
• Si l' intervalle est suffisamment étroit pour permettre une approximation linéaire, vous ne serez de toute façon pas en mesure, à partir des données, de deviner que la relation devrait être $X$$\frac{1}{X}$$X$

Je ne vois aucune raison pour qu'ils soient "approximativement égaux" en général - mais qu'entendez-vous exactement par approximativement égaux?

Voici un exemple de jouet:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

L'image:

Le modèle "bleu" ferait beaucoup mieux s'il était autorisé à avoir un terme d'interception (c'est-à-dire constant) ...