Les estimations de l'ordonnée à l'origine et de la pente dans une régression linéaire simple sont-elles indépendantes?

Considérons un modèle linéaire

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

et des estimations pour la pente et l'ordonnée à l'origine et utilisant les moindres carrés ordinaires. Cette référence pour une statistique mathématique fait que et sont indépendants (dans leur preuve de leur théorème). la ß alpha la $\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi. Depuis

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Cela ne signifie-t-il pas que et sont corrélés? Il me manque probablement quelque chose de vraiment évident ici. la $\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

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https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Vous verrez plus clairement qu'ils spécifient le modèle de régression linéaire simple avec le régresseur centré sur sa moyenne d'échantillon . Et cela explique pourquoi ils disent par la suite que et sont indépendants. la $\hat \alpha$$\hat \beta$

Dans le cas où les coefficients sont estimés avec un régresseur non centré, leur covariance est

Vous voyez donc que si nous utilisons un régresseur centré sur , appelons-le , l'expression de covariance ci-dessus utilisera la moyenne d'échantillon du régresseur centré, , qui sera zéro, et ainsi elle aussi sera nulle et les estimateurs de coefficient seront indépendants.˜ x ˜ ˉ $\bar x$$\tilde x$$\tilde {\bar x}$

Cet article contient plus sur l'algèbre OLS de régression linéaire simple.