Régression polynomiale orthogonale multivariée?

Pour motiver la question, considérons un problème de régression où nous cherchons à estimer utilisant les variables observées$Y$$\{ a, b \}$

Lors de la régression polynomiale multivariée, j'essaie de trouver la paramétrisation optimale de la fonction

qui correspondent le mieux aux données dans un sens le moins carré.

Le problème avec cela, cependant, est que les paramètres ne sont pas indépendants. Existe-t-il un moyen de faire la régression sur un ensemble différent de vecteurs "de base" qui sont orthogonaux? Cela présente de nombreux avantages évidents$c_i$

1) les coefficients ne sont plus corrélés. 2) les valeurs des elles-mêmes ne dépendent plus du degré des coefficients. 3) Cela a également l'avantage de pouvoir supprimer les termes d'ordre supérieur pour une approximation plus grossière mais toujours précise des données.$c_i$

Ceci est facilement réalisé dans le cas à variable unique en utilisant des polynômes orthogonaux, en utilisant un ensemble bien étudié tel que les polynômes de Chebyshev. Il n'est cependant pas évident (pour moi de toute façon) comment généraliser cela! Il m'est venu à l'esprit que je pouvais multiplier les polynômes de Chebyshev par paire, mais je ne suis pas sûr que ce soit la chose mathématiquement correcte à faire.

Votre aide est appréciée

Par souci d'achèvement (et pour aider à améliorer les statistiques de ce site, ha), je dois me demander si ce document ne répondrait pas également à votre question?

ABSTRAIT: Nous discutons du choix de la base polynomiale pour l'approximation de la propagation de l'incertitude à travers des modèles de simulation complexes avec la capacité de produire des informations dérivées. Nos travaux s'inscrivent dans un effort de recherche plus vaste sur la quantification de l'incertitude à l'aide de méthodes d'échantillonnage augmentées d'informations dérivées. L'approche présente de nouveaux défis par rapport à la régression polynomiale standard. En particulier, nous montrons qu'une base polynomiale orthogonale multivariée de produit tensoriel d'un degré arbitraire ne peut plus être construite. Nous fournissons des conditions suffisantes pour qu'un ensemble orthonormé de ce type existe, une base pour l'espace qu'il couvre. Nous démontrons les avantages de la base dans la propagation des incertitudes des matériaux grâce à un modèle simplifié de transport de chaleur dans un cœur de réacteur nucléaire. Par rapport à la base polynomiale du produit tensoriel Hermite,

Sinon, la base produit-tenseur des polynômes unidimensionnels n'est pas seulement la technique appropriée, mais aussi la seule que je puisse trouver pour cela.