Les distributions stables sont invariantes sous convolutions. Quelles sous-familles des distributions stables sont également fermées par multiplication? En ce sens que si et , alors la fonction de densité de probabilité du produit, (jusqu'à une constante de normalisation) appartient aussi à ?f ∈ F g ∈ F f ⋅ g F
Remarque: j'ai considérablement modifié le contenu de cette question. Mais l'idée est essentiellement la même, et maintenant elle est beaucoup plus simple. Je n'ai eu qu'une réponse partielle, donc je pense que ça va.
Réponses:
Une «distribution stable» est un type particulier de famille de distributions à l'échelle de l'emplacement. La classe des distributions stables est paramétrée par deux nombres réels, la stabilité et l' asymétrie β ∈ [ - 1 , 1 ] .α ∈ ( 0 , 2 ] β∈ [ - 1 , 1 ]
Un résultat cité dans l'article Wikipédia résout cette question de la fermeture sous les produits des fonctions de densité. Lorsque est la densité d'une distribution stable avec α < 2 , alors asymptotiquementF α < 2
La réponse unique est donc que la famille de distribution normale est la seule distribution stable fermée par le produit de la densité.
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Je sais que c'est une réponse partielle et je ne suis pas un expert, mais cela pourrait aider: si l'un des deux fichiers PDF unimodaux est log-concave, alors leur convolution est unimodale. Dû à Ibragimov (1956) , via ces notes . Apparemment, si les deux sont log-concaves, la convolution est également log-concave.
En ce qui concerne la fermeture du produit, le seul « propre » résultat que je connais pour les distributions de produits est la limite théorème décrit dans cette réponse math.se .
Que diriez-vous d'une version tronquée de ceux - ci ? La distribution uniforme bornée est un cas limite de son paramètre de forme, et autant que je sache, ils sont unimodaux et log-concaves, donc ils ont des convolutions unimodales, log-concaves. Je n'ai aucune idée de leurs produits. Lorsque j'aurai plus de temps plus tard cette semaine, je pourrais essayer de lancer des simulations pour voir si j'obtiens des produits log-concaves de distributions d'erreurs tronquées. Peut-être que Govindarajulu (1966) aiderait.
Je ne sais pas quelle est la politique sur le crossposting, mais il semble que les gens de math.se pourraient également vous aider. Par curiosité, essayez-vous de construire une structure algébrique à partir de distributions de probabilités?
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