Quelle est la fréquence de coupure d'un filtre à moyenne mobile?

J'ai besoin de concevoir un filtre à moyenne mobile qui a une fréquence de coupure de 7,8 Hz. J'ai déjà utilisé des filtres à moyenne mobile, mais pour autant que je sache, le seul paramètre qui peut être introduit est le nombre de points à faire la moyenne ... Comment cela peut-il être lié à une fréquence de coupure?

L'inverse de 7,8 Hz est de ~ 130 ms, et je travaille avec des données échantillonnées à 1000 Hz. Cela signifie-t-il que je devrais utiliser une taille de fenêtre de filtre moyenne mobile de 130 échantillons, ou y a-t-il autre chose qui me manque ici?

Le filtre à moyenne mobile (parfois appelé familièrement filtre à wagon couvert ) a une réponse impulsionnelle rectangulaire:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

Ou, autrement dit:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

En se rappelant que la réponse en fréquence d'un système à temps discret est égale à la transformée de Fourier à temps discret de sa réponse impulsionnelle, nous pouvons la calculer comme suit:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

Pour simplifier cela, nous pouvons utiliser la formule connue pour la somme des premiers termes d'une série géométrique$N$ :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

Ce qui nous intéresse le plus dans votre cas, c'est la réponse en amplitude du filtre,. En utilisant quelques manipulations simples, nous pouvons obtenir cela sous une forme plus facile à comprendre:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

Cela peut ne pas sembler plus facile à comprendre. Cependant, en raison de l'identité d' Euler , rappelez-vous que:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

Par conséquent, nous pouvons écrire ce qui précède comme:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

Comme je l'ai déjà dit, ce qui vous préoccupe vraiment, c'est l'ampleur de la réponse en fréquence. Donc, nous pouvons prendre l'ampleur de ce qui précède pour simplifier davantage:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

Remarque: Nous pouvons supprimer les termes exponentiels car ils n'affectent pas l'ampleur du résultat; pour toutes les valeurs de . Depuispour deux nombres complexes finis et , nous pouvons conclure que la présence des termes exponentiels n'affecte pas la réponse d'amplitude globale (au lieu de cela, ils affectent la réponse de phase du système).ω | x y | = | x | | y | x $|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

La fonction résultante à l'intérieur des crochets de magnitude est une forme de noyau Dirichlet . Elle est parfois appelée fonction sinc périodique , car elle ressemble quelque peu à la fonction sinc en apparence, mais elle est plutôt périodique.

Quoi qu'il en soit, comme la définition de la fréquence de coupure est quelque peu sous-spécifiée (point -3 dB? Point -6 dB? Premier lobe latéral nul?), Vous pouvez utiliser l'équation ci-dessus pour résoudre tout ce dont vous avez besoin. Plus précisément, vous pouvez effectuer les opérations suivantes:

1. Ensembleà la valeur correspondant à la réponse du filtre que vous souhaitez à la fréquence de coupure.$|H(\omega)|$

2. Définissez égal à la fréquence de coupure. Pour mapper une fréquence à temps continu au domaine à temps discret, n'oubliez pas que , où est votre fréquence d'échantillonnage.ω = 2 π $\omega$ f$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. Trouvez la valeur de qui vous donne le meilleur accord entre les côtés gauche et droit de l'équation. Cela devrait être la longueur de votre moyenne mobile.$N$

Si est la longueur de la moyenne mobile, alors une fréquence de coupure approximative (valable pour ) en fréquence normalisée est:$N$ N>=2F=f / f$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

L'inverse de ceci est

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

Cette formule est asymptotiquement correcte pour les grands N et a une erreur d'environ 2% pour N = 2 et inférieure à 0,5% pour N> = 4.

PS: Après deux ans, voici enfin quelle a été l'approche suivie. Le résultat était basé sur l'approximation du spectre d'amplitude MA autour de tant que parabole (Série de 2ème ordre) selon$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

qui peut être rendu plus exact près du passage par zéro de en multipliant par un coefficient$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

obtention $MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

La solution de donne les résultats ci-dessus, où .2πFco=Ωc$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

Tout ce qui précède concerne la fréquence de coupure de -3 dB, le sujet de cet article.

Parfois, bien qu'il soit intéressant d'obtenir un profil d'atténuation en bande d'arrêt qui soit comparable à celui d'un filtre passe-bas IIR de premier ordre (LPF unipolaire) avec une fréquence de coupure de -3 dB donnée (un tel LPF est également appelé intégrateur qui fuit, ayant un pôle pas exactement à DC mais près de lui).

En fait, le MA et le LPF IIR de premier ordre ont une pente de -20 dB / décade dans la bande d'arrêt (on a besoin d'un N plus grand que celui utilisé dans la figure, N = 32, pour le voir), mais alors que MA a des valeurs nulles spectrales à et une enveloppe , le filtre IIR n'a qu'un profil .1 /$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

Si l'on veut obtenir un filtre MA avec des capacités de filtrage du bruit similaires à ce filtre IIR et que les fréquences de coupure 3dB sont identiques, en comparant les deux spectres, il se rendrait compte que l'ondulation de la bande d'arrêt du filtre MA finit ~ 3 dB en dessous de celui du filtre IIR.

Afin d'obtenir la même ondulation de bande d'arrêt (c'est-à-dire la même atténuation de puissance de bruit) que le filtre IIR, les formules peuvent être modifiées comme suit:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$