Quelle est la réponse en phase et en amplitude du bruit blanc?

16

Je voudrais créer du bruit blanc dans le domaine fréquentiel, puis le transformer en domaine temporel en utilisant python. Pour comprendre le problème, j'ai simplement généré du bruit blanc dans le domaine temporel et l'ai transformé en domaine freq:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

Je ne regarde pas du tout comme je m'y attendais: Diagramme de Bode du bruit blanc Questions:

  • Le bruit blanc n'est-il pas censé avoir une réponse d'amplitude plate? (quantités égales pour toutes les fréquences)
  • Quelle est la relation entre l'écart-type (1 dans mon exemple) et la magnitude et la phase?

Merci d'avance!

Uffe
la source

Réponses:

21

Le bruit blanc n'est-il pas censé avoir une réponse d'amplitude plate? (quantités égales pour toutes les fréquences)

La réponse en amplitude attendue du bruit blanc est plate (c'est ce que JasonR appelle la densité spectrale de puissance). Tout exemple particulier d'une séquence de bruit blanc n'aura pas de réponse plate précise (c'est ce que le commentaire de JasonR appelle le spectre de puissance).

En fait, la transformée de Fourier du bruit blanc est ... du bruit blanc!

Quelle est la relation entre l'écart-type (1 dans mon exemple) et la magnitude et la phase?

Il n'y aura pas de relation entre l'écart-type et la phase. En ce qui concerne la magnitude, supposons que n(t) est un bruit blanc stationnaire avec une moyenne nulle et un écart type σ . Alors l'autocorrélation (covariance) est:

Rnn(τ)=E[n(t)n(t+τ)]=σ2δ(τ)

Ainsi, la densité spectrale de puissance est juste σ2 (bien que pour le temps discret, il y aura une mise à l'échelle basée sur la durée du signal).


Questions du commentaire:

  1. Lorsque vous dites que la transformée de Fourier est également du bruit blanc, comment puis-je mesurer le std-dev lorsque la transformée est complexe? Partie réelle, imaginaire ou une combinaison?

n[m]σ2

N[k]=m=0M-1n[m]e-j2πmk/M=m=0M-1n[m]cos(2πmk/M)+jn[m]péché(2πmk/M)

et la valeur attendue est:

E[N[k]]=E[m=0M-1n[m]e-j2πmk/M]=m=0M-1E[n[m]]e-j2πmk/M=0

La variance de la partie réelle est donnée par:

E[(N[k])2]=E[m=0M-1n[m]cos(2πmk/M)p=0M-1n[p]cos(2πpk/M)]=E[m=0M-1p=0M-1n[m]n[p]δ[n-p]cos(2πmk/M)cos(2πpk/M)]=m=0M-1E[n[m]2]cos2(2πmk/M)=σ2m=0M-1cos2(2πmk/M)=σ2(M2+cos(M+1)2πk/Mpéché(2πMk/M)2péché(2πk/M)   )=σ2M2

Je pense que la partie imaginaire se comportera de la même manière.

  1. Pourriez-vous, s'il vous plaît, m'éclairer sur la relation entre la durée du signal et la densité spectrale de puissance (pour des situations temporelles discrètes)

Je crois que (sur la base de la dérivation ci-dessus), la densité spectrale de puissance (la valeur attendue du carré de la DFT) évoluera linéairement comme la durée.

  1. Si la phase n'est pas affectée par le std-dev, ce qui détermine l'amplitude de 3 degrés et le type de distribution (semble être uniforme plutôt que normal)

Consultez le tableau à la page 2 de ce fichier PDF . il indique que l'argument (phase) des coefficients sera uniformément distribué, comme vous le dites. Capture d'écran du tableau ci-dessous.

entrez la description de l'image ici

Peter K.
la source
3
Plus précisément, les deux concepts que l'OP prête à confusion sont la densité spectrale de puissance du bruit blanc et le spectre de puissance d'une réalisation particulière d'un processus aléatoire de bruit blanc.
Jason R
Merci! J'ai quelques questions complémentaires. 1: Lorsque vous dites que la transformée de Fourier est également du bruit blanc, comment puis-je mesurer le std-dev lorsque la transformée est complexe? Partie réelle, imaginaire ou une combinaison? 2: Pourriez-vous, s'il vous plaît, m'éclairer sur la relation entre la durée du signal et la densité spectrale de puissance (pour des situations temporelles discrètes) distribution (semble être uniforme plutôt que normale)
Uffe
Parfait! Cela explique toutes les caractéristiques de la réponse en fréquence. Il est maintenant clair pour moi que l'amplitude de la phase n'était pas de 3, maisπ, et que le std-dev des parties réelles et imaginaires dépend simplement de la quantité d'éléments dans le vecteur. Je peux également confirmer, par expérience, que la partie imaginaire a également une variance deσ2M2.
Uffe
Il s'agit du lien actuel vers le document PDF référencé ci-dessus ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ), qui est rompu.
Invité
@Guest Merci! À l'avenir, essayez simplement de modifier la réponse avec le nouveau lien. Il n'ira pas directement car il devra être revu par un utilisateur de haut niveau, mais il y arrivera (et vous obtiendrez +2 représentants dans le processus).
Peter K.