Distribution de

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Existe-t-il une expression canonique ou analytique pour la distribution de probabilité de la variable aléatoire complexe à symétrie circulaire : où ?Z

Z=ejθ,
θU(0,2π)

Notes annexes:

On sait que les parties réelles et imaginaires, c'est-à-dire: ont des densités marginales données par : mais parce qu'ils ne sont pas indépendants, l'informatique leur PDF commun n'est pas anodin.

(Z)=cosθ(Z)=sinθ
f(Z)(z)=f(Z)(z)=1π1z2,1<z<1,

EDIT: est différent d'une normale complexe en ce que ici, l'amplitudeest déterministe et identique 1, alors que si était une normale complexe,serait Rayleigh distribué.Z|Z| Z|Z|

Robert L.
la source
En quoi est-ce différent du complexe circulaire symétrique normal ?
Maxtron
1
@Maxtron, l'amplitude est ici de 1, tandis que la normale complexe a une amplitude qui est elle-même une variable aléatoire avec une distribution de Rayleigh.
Robert L.
@OlliNiemitalo avait une réponse pour quelque chose de similaire, si je me souviens bien
Fat32
@ Fat32 Oui, cela sonne une cloche. L'autre question est: quelle est sa distribution?
Olli Niemitalo
@OlliNiemitalo Oui, c'était la question!
Fat32

Réponses:

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Étant donné que les parties réelle et imaginaire dépendent beaucoup l'une de l'autre (si vous avez la valeur de l'une, vous connaissez exactement la valeur de l'autre), il semble que vous pourriez appliquer le pdf marginal de la partie réelle r, étant donné une valeur de la partie imaginaire i:

fri(r,i)=fr|i(r | i)fi(i)

Vous avez noté individuellement le pdf des parties réelle et imaginaire:

fr(z)=fi(z)=1π1z2

Cela laisse le pdf marginal fr|i(r | i). N'oubliez pas que pour une réalisation donnée de la variable aléatoireZ, les deux composantes sont liées de façon déterministe:

r2+i2=cos2(θ)+sin2(θ)=1

Compte tenu de cette relation, nous pouvons résoudre pour r en terme de i:

r2=1i2
r=±1i2

Par conséquent, le pdf marginal de r étant donné une valeur de i est une paire d'impulsions:

fr|i(r | i)=12δ(r1i2)+12δ(r+1i2)

Assembler ces éléments donnerait:

fri(r,i)=δ(r1i2)+δ(r+1i2)2π1i2

En y réfléchissant géométriquement, pour chaque ligne horizontale i=i0 (pour i0[1,1]) dans le ri avion, il n'y a que deux points r0=±1i02qui sont non nulles, et le pdf a une hauteur infinie à ces points. Comme on pourrait s'y attendre, ces points d'intersection (c'est-à-dire les points où le pdf n'est pas nul) sont ceux où la ligne horizontale coupe le cercle unitaire!

Cela signifie que le joint pdf a une valeur nulle, sauf le long du cercle unitaire, où il prend une hauteur infinie. Cela correspond à l'intuition, comme la définition de la variable aléatoireZ garantit que ne peut prendre que des valeurs qui se trouvent sur le cercle unitaire.

Il n'y a rien de spécial dans la façon dont j'ai exposé cela; vous pouvez également transposer le problème et regarder les lignes verticales dans leri plan de la forme r=r0 et vous trouveriez la même relation en raison du couplage étroit des deux variables aléatoires.

Je crois que cette formulation est équivalente à celle de la réponse d'AlexTP , mais sa dérivation est probablement plus intuitive.

Jason R
la source
1
y a-t-il une faute de frappe r=1i2; peut-être que tu veux direr2=1i2? Pouvons-nous également montrer que le joint pdf s'intègre à 1 dans le plan xy (ou eqv ri). Encore une fois, le pdf communfri(r,i)n'est pas circulairement symétrique? (le dénominateur?). Ne pouvons-nous pas simplement utiliser la logiquez=ejθ=cos(θ)+jsin(θ)=x+jy avec θ uniforme en [0,2π] et la contrainte x2+y2=1 propose simplement un joint pdf symétrique circulaire du type fxy(x,y)=Kδ2(x2+y21) ou fR,θ=Kδ2(R1); une impulsion d'anneau sur le plan xy? où K est peut-être1/2π?
Fat32
1
J'ai corrigé les fautes de frappe dont vous avez parlé, merci.
Jason R
@ Fat32: J'ai fait quelques corrections qui m'ont amené à ce qui ressemble à ce que vous vouliez dire dans votre commentaire ci-dessus. Cependant, la réponse d'AlexTP est probablement plus intuitive.
Jason R
1
Il y a une faute de frappe dans la copie fr|i(r|i) à fr,i(r,i). Et j'observe quefr,i(0,1)= est différent de fr,i(1,0)=12π. Je pense qu'ils devraient avoir la même valeur, non?
AlexTP
1
tout le monde, peut-être qu'une simulation rapide serait utile pour montrer vos points :)
AlexTP
9

Évitez les calculs compliqués, laissez X et Yêtre iid variables aléatoires normales standard , votre variable aléatoireZ a la même distribution de V

V(XX2+Y2,YX2+Y2)
(facile à voir V=1 et l'angle de V équivaut à l'angle d'une normale circulairement symétrique donc uniforme).

Ce genre de V est l'une des constructions d'un point uniformément réparti sur le cercle (qui peut être généralisé à (n1)-sphere, voir Sphere Point Picking et par exemple cette réponse ).

Ainsi le PDF de Zest simplement l'inverse de la circonférence du cercle unitaire. PourZρ=ρejΘ avec fixe ρ et uniforme Θ,

en coordonnées polaires (où la zone infinitésimale est rdrdθ),

fR,Θ(r,θ)=12πδ(rρ)

AlexTP
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2
je pense que c'est correct.
robert bristow-johnson
L'intuition semble si simple derrière la preuve. Tout ce que vous devez faire est de choisir des points à la surface d'une sphère unitaire :)
Maxtron
Ne pouvons-nous pas simplement supprimer le ||z||au dénominateur? Sinon, comment évalueriez-vous l'expression de||z||0? Bien sûr, nous aimerionsfZ(0)=0tenir.
Matt L.
@MattL. vous avez raison, c'est mal d'avoirzdans le dénominateur, non pas en raison de l'évaluation aux limites mais parce que c'est tout simplement faux. J'ai fixé le résultat final.
AlexTP
1
@AlexTP: Je pense toujours qu'il ne devrait pas y avoir de variable dans le dénominateur. Jetez un œil à ma réponse et dites-moi si / où je me trompe.
Matt L.
4

Sur la base des réponses existantes, qui m'ont ouvert les yeux sur ce qui se passe ici, je voudrais présenter une autre expression très simple pour la solution, qui est légèrement différente de celle de la réponse d'AlexTP (et qui s'est avérée être équivalente à celle donnée dans la réponse de Jason R , comme indiqué ci-dessous dans la partie EDIT).

[EDIT: maintenant qu'AlexTP a édité sa réponse, nos expressions pour le PDF sont identiques; donc les trois réponses sont finalement d'accord les unes avec les autres].

Soit la variable aléatoire complexe Z=X+jY être défini comme

(1)Z=ρejθ

où le rayon ρ is deterministic and given, whereas the angle θ is random and uniformly distributed on [0,2π). I state without further proof that Z is circularly symmetrical, from which it follows that its probability density function (PDF) must satisfy

(2)fZ(z)=fZ(x+jy)=fZ(r),withr=x2+y2

i.e., it can be written as a function of the radius (magnitude) r.

Since the PDF must be zero everywhere except for r=ρ, and since it must integrate to unity (when integrated over the 2-dimensional plane), the only possible PDF is

(3)fZ(r)=12πδ(rρ)

It can be shown that (3) leads to the correct marginal densities for the random variables X and Y.


EDIT:

After some very useful discussion in the comments it appears that we've managed to agree on one solution to the problem. I will show in the following that the unassuming formula (3) is actually equivalent to the more involved looking formula in Jason R's answer. Note that I use r for the magnitude (radius) of the complex RV Z, whereas in Jason's answer r denotes the real part of Z. I will use x and y for the real and imaginary parts, respectively. Here we go:

(4)fZ(r)=12πδ(rρ)=12πδ(x2+y2ρ)

We know that δ(g(x)) is given by

(5)δ(g(x))=iδ(xxi)|g(xi)|

where xi are the (simple) roots of g(x). We have

(6)g(x)=x2+y2ρandg(x)=xx2+y2=xr

The two roots xi are

(7)x1,2=±ρ2y2

Consequently,

(8)|g(x1)|=|g(x2)|=ρ2y2ρ=1(yρ)2

With (5)-(8), Eq. (4) can be written as

(9)fX,Y(x,y)=12π1(yρ)2[δ(xρ2y2)+δ(x+ρ2y2)]

For ρ=1, Eq. (9) is identical to the expression given in Jason R's answer.

I think we can now agree that Eq. (3) is a correct (and very simple) expression for the PDF of the complex RV Z=ρejθ with deterministic ρ and uniformly distributed θ.

Matt L.
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I think the determinant of Jacobian transform should be r then
θ=02πr=0+fZ(r)rdrdθ1
AlexTP
@AlexTP: Take as an extreme example ρ=0, which makes the RV Z deterministic, it's always zero. It's PDF should then be a Dirac impulse at r=z=y=0, which is what I get with the formula I suggested. With the formula in your answer we get an undefined term in that case.
Matt L.
it's true, but I think the value of PDF can be infinity and only the CDF should be bounded. In other words, the Dirac impulse matters only inside integrals.
AlexTP
Yes, but if you integrate your pdf (for ρ=0), what do you get (and how would you do it)?
Matt L.
I would do like this
limρ0+θr=0+12πρδ(rρ)rdrdθ=limρ0+θ12πρρdθ=θ12πdθ=1
The integral is finite while the PDF is not thanks to the Jacobian determinant. My point is that you need that Jacobian determinant r whenever you integrate the PDF in polar coordinate. Tell me if you find it unconvinced.
AlexTP