Capacité du canal AWGN

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Je ne comprends pas bien les concepts de base de la communication sur les canaux AWGN. Je sais que la capacité d'un canal AWGN à temps discret est: et elle est atteinte lorsque le signal d'entrée est gaussien Distribution. Mais, qu'est-ce que cela signifie que le signal d'entrée est gaussien? Cela signifie-t-il que l'amplitude de chaque symbole d'un mot de code doit être tirée d'un ensemble gaussien? Quelle est la différence entre l'utilisation d'un livre de codes spécial (dans ce cas gaussien) et la modulation du signal avec une signalisation M-aire, par exemple MPSK?

C=12log2(1+SN)
Mah
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Réponses:

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En supposant un canal dont l'entrée à chaque instant est une variable aléatoire continue X et sa sortie est Y=X+Z, où ZN(0,N) et Z est indépendant de X, puis

CCI-AWGN=12log2(1+PN)
est la capacité du canal d' entrée continue sous la contrainte de puissance
EX2P
L'information mutuelle I(X;Y) est maximisé (et est égal à CCI-AWGN) quand XN(0,P).

Cela signifie que si Xest une variable aléatoire gaussienne continue avec la variance donnée, alors la sortie a l'information mutuelle la plus élevée possible avec l'entrée. C'est ça!

Lorsque la variable d'entrée Xest discrétisé (quantifié), une nouvelle formulation est nécessaire. En effet, les choses peuvent facilement devenir difficiles. Pour le voir un peu, on peut considérer le cas simple d'une discrétisation très grossière deXoù il ne peut avoir que deux valeurs. Supposons donc queX est sélectionné dans un alphabet binaire, par exemple laissez X{±1}(ou une version mise à l'échelle pour satisfaire une contrainte de puissance). En termes de modulation, il est identique au BPSK.

Il s'avère que la capacité (même dans ce cas simple) n'a pas de forme fermée. Je rapporte de "Modern Coding Theory" de Richardson et Urbanke:

CBI-AWGN=1+1ln(2)((2N1)Q(1N)2πNe12N+i=1(1)ii(i+1)e2i(i+1)NQ(1+2iN))
Une comparaison entre les deux cas peut être vue dans la figure ci-dessous:

entrez la description de l'image ici

msm
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Que feriez-vous si vous souhaitez vous rapprocher de la capacité? en utilisant un schéma PSK d'ordre supérieur?
Mah
@msm J'ai toujours cru que la FEC est un concept général comprenant H-ARQ, ou H-ARQ est une astuce pour réduire la longueur des mots de code par transmission, c'est-à-dire pour réduire la complexité du décodage, avec le coût d'un temps de transmission total plus long, n'est-ce pas?
AlexTP
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Peter K.
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Peter K.
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La formule de capacité

(1)C=0.5log(1+SN)
est pour un canal temporel discret.

En supposant que vous disposez d'une séquence de données {an} pour envoyer, vous avez besoin d'un ensemble de formes d'ondes orthonormées {ϕn(t)}pour la modulation. En modulation linéaire, à qui appartient la modulation M-aire,ϕn(t)=ϕ(tnT)T est la durée du symbole et ϕ(t) est une forme d'onde prototype de sorte que le signal TX à temps continu en bande de base devient

(2)x(t)=nanϕ(tnT)

Les modulations typiques utilisent le cas spécial {ϕn(t)}satisfait le critère de Nyquist ISI avec un filtre adapté pour récupéreran. Un bien connuϕ(t)est le cosinus surélevé de la racine .

Le canal AWGN continu est un modèle qui

(3)y(t)=x(t)+n(t)

n(t) est un processus stochastique blanc gaussien.

De (2), nous pouvons voir que an est la projection de x(t) sur {ϕn(t)}. Faites la même chose avecn(t), les projections de n(t) sur un ensemble orthonormé est une séquence de variables aléatoires gaussiennes iid wn=n(t),ϕn(t) (Je pense vraiment que n(t)est défini à partir de ses projections); et appeleryn=y(t),ϕn(t). Voilà, nous avons un modèle de temps discret équivalent

(4)yn=an+wn

La formule (1) est indiquée pour S et N sont l'énergie (variance si unen et wn sont zéro moyenne) de unen et wn, respectivement. Siunen et wn sont gaussiennes, ynet la capacité est maximisée. (Je peux ajouter une simple preuve si vous le souhaitez).

qu'est-ce que cela signifie que le signal d'entrée est gaussien? Cela signifie-t-il que l'amplitude de chaque symbole d'un mot de code doit être tirée d'un ensemble gaussien?

Cela signifie des variables aléatoires unen sont gaussiens.

Quelle est la différence entre l'utilisation d'un livre de codes spécial (dans ce cas gaussien) et la modulation du signal avec une signalisation M-aire, par exemple MPSK?

La forme d'onde ϕn(t) l'ensemble doit être orthonormé, ce qui est vrai pour M-PSK, de sorte que wn est iid gaussien.

Mettre à jour cependantunenest quantifié donc en général, il n'est plus gaussien. Il existe des recherches sur ce sujet, telles que l'utilisation du codage gaussien sur réseau (lien) .

AlexTP
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@msm je voulais dire "canal à temps discret". Oui, ces variables aléatoires sont continues, leur support est continu. J'ai parlé de temps continu et de temps discret parce que l'auteur a posé des questions sur la modulation.
AlexTP
@msm my (3) est continu et (4) est l'équivalent discret. Physiquement à l'échelle non quantique, nous sommes en (3). Pour analyser, nous utilisons (4). Nous parlons simplement de deux choses différentes, je suppose. J'ai modifié ma réponse pour utiliser la terminologie correcte.
AlexTP
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@msm a vu votre réponse et a découvert que j'ai mal compris ce que l'auteur de la question voulait poser sur la modulation et ce que vous me dites. J'ai mis à jour ma réponse pour éviter la partie trompeuse. Merci.
AlexTP
"Je pense vraiment que n (t) est défini à partir de ses projections" - Le problème est que le bruit blanc a des dimensions infinies. Ce qui est intéressant, c'est que, pour le problème de la récupérationunen, seule la projection sur ϕn(t)est pertinent - toutes les autres projections infinies possibles n'aident pas. Voir le "théorème de la non-pertinence".
MBaz
@MBaz oui je suis d'accord. Le théorème de la non-pertinence et le théorème de l'échantillonnage sont le couple pour établir un modèle basique de canal temporel discret. La partie orthogonale est non corrélée donc indépendante sous l'hypothèse gaussienne. Cependant, je pense que je ne modifierais pas ma réponse car ce truc de projection ne se rapporte pas directement à la question. Merci d'avoir précisé.
AlexTP
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Dire que le signal d'entrée a une distribution gaussienne signifie qu'il est distribué comme une variable aléatoire gaussienne. En pratique, on s'appuie sur le codage sur plusieurs instances du canal (dans le temps) au lieu de s'appuyer sur une distribution d'entrée gaussienne. Il y a une belle théorie pleine de preuves qui dépasse le cadre de cette réponse (Théorie de l'information). Les codes de contrôle d'erreur (ou codes de canal) reposent généralement sur l'utilisation de modulations QAM / PSK familières, mais grâce à la redondance du code et à l'utilisation de plusieurs canaux, ils peuvent approcher (mais pas tout à fait atteindre) la capacité du canal. Un croquis du raisonnement (sans tous les détails) est fourni ci-dessous.

La définition de la capacité du canal est

C=souperpX(X)je(X;Oui)
X peut être vaguement appelé votre variable aléatoire d'entrée, et Oui peut être vaguement appelé votre variable aléatoire de sortie, et je(,)est l' information mutuelle deX et Oui. Cette définition nous oblige à rechercher toutes les distributions possibles de l'entréepX(X)pour les distributions qui maximisent les informations mutuelles. Le canal AWGN discret a une relation entrée / sortie définie comme
Oui=X+Z
Z est une moyenne gaussienne nulle avec variance σZ2 (remarquerez que σZ2=N et σX2=Sdans votre notation). Je n'ai pas le temps de fournir tous les détails pour le moment. Cependant, tout livre sur la théorie de l'information peut vous guider à travers la preuve qui montre que siX est distribué comme un gaussien puis je(X;Oui) (l'information mutuelle de X et Oui) est maximisé. Par exemple, voir Elements of Information Theory par Thomas Cover. Si vous ne l'avez pas encore lu, le traité original de Shannon Une théorie mathématique de la communication est une lecture intéressante avec un raisonnement clair tout au long.
le houblon
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