Quand deux signaux sont-ils orthogonaux?

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La définition classique de l'orthogonalité en algèbre linéaire est que deux vecteurs sont orthogonaux, si leur produit intérieur est nul.

J'ai pensé que cette définition pourrait également s'appliquer aux signaux, mais j'ai ensuite pensé à l'exemple suivant:

Considérons un signal sous la forme d'une onde sinusoïdale et un autre signal sous la forme d'une onde cosinusoïdale. Si je les échantillonne tous les deux, j'obtiens deux vecteurs. Alors que le sinus et le cosinus sont des fonctions orthogonales, le produit des vecteurs échantillonnés n'est presque jamais nul, pas plus que leur fonction de corrélation croisée à t = 0 ne disparaît.

Alors, comment l'orthogonalité est-elle définie dans ce cas? Ou mon exemple est-il faux?

orthogonal-signals user26311
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Comme vous le savez peut-être, l'orthogonalité dépend du produit intérieur de votre espace vectoriel. Dans votre question, vous déclarez que:

Alors que le sinus et le cosinus sont des fonctions orthogonales ...

Cela signifie que vous avez probablement entendu parler du produit interne "standard" pour les espaces fonctionnels:

⟨ f, g ⟩ = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) g (x) d x

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)g(x) \ \mathrm{d}x$

Si vous résolvez cette intégrale pour $f(x)=\cos (x)$ et $g(x)=\sin(x)$ pour une seule période, le résultat sera $0$ : ils sont orthogonaux.

L'échantillonnage de ces signaux, cependant, n'est pas lié à l'orthogonalité ou quoi que ce soit. Les "vecteurs" que vous obtenez lorsque vous échantillonnez un signal ne sont que des valeurs réunies qui ont du sens pour vous : ce ne sont pas strictement des vecteurs , ce ne sont que des tableaux (en argot de programmation). Le fait que nous les appelions vecteurs dans MATLAB ou tout autre langage de programmation peut être déroutant.

C'est un peu délicat, en fait, car on pourrait définir un espace vectoriel de dimension $N$ si tu as $N$ échantillons pour chaque signal, où ces tableaux seraient en effet des vecteurs réels . Mais cela définirait des choses différentes.

Pour simplifier, supposons que nous soyons dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ et tu as $3$ des échantillons pour chaque signal, et tous ont une valeur réelle. Dans le premier cas, un vecteur (c'est-à-dire trois nombres réunis) ferait référence à une position dans l'espace. Dans le second, ils se réfèrent à trois valeurs qu'un signal atteint à trois moments différents. Dans cet exemple, il est facile de repérer la différence. Si tu avais $n$ échantillons, alors la notion d '"espace" serait moins intuitive, mais l'idée tient toujours.

En un mot, deux signaux sont orthogonaux si le produit intérieur entre eux (à savoir l'intégrale que j'ai écrit ci-dessus) est $0$ , et les vecteurs / tableaux obtenus en les échantillonnant ne nous disent pas qu'ils sont orthogonaux.

Tendero
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Le terme "vecteur" ne signifie pas nécessairement "une position dans l'espace". En fait, tout élément d'un espace vectoriel peut être considéré comme un vecteur. L'espace fonctionnel L2 est également un espace vectoriel avec addition par élément et multiplication scalaire. Par conséquent, les fonctions qui sont des éléments de L2 peuvent être considérées comme des vecteurs de cet espace vectoriel. Ainsi, le produit interne entre ces vecteurs détermine si les fonctions sont orthogonales sur cet espace vectoriel.

Maximilian Matthé

Salut @ MaximilianMatthé, je n'ai jamais dit que "vector" = "position dans l'espace". J'ai écrit l'exemple de l'espace vectoriel

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ pour rendre les choses plus claires, et dans ce cas, les vecteurs sont en coordonnées spatiales générales. Le fait que j'ai défini un produit interne pour les fonctions indique (implicitement) que les fonctions peuvent former un espace vectoriel. Dois-je modifier quelque chose dans mon message pour le rendre plus clair? Je faisais référence à des échantillons ne composant pas le même espace vectoriel que les signaux eux-mêmes, et c'est la raison pour laquelle les échantillons ne disent rien sur l'orthogonalité.

Tendero

@Tendero Merci (j'ai posé la question, j'ai oublié de me connecter avant)! Cependant, je continue de me débattre, car vous avez déclaré que, si je calculais l'intégrale donnée avec

f (x) = c o s (x)

$f(x)=cos(x)$ et

g (x) = s i n (x)

$g(x)=sin(x)$ alors j'obtiendrais

0

$0$ . Et bien non . Le résultat est

- 0.5 c o s^{2} (x)

$-0.5cos^2(x)$ , qui n'est pas toujours nul. Certes, si j'intègre sur une période, je reçois zéro. Mais en réalité, j'ai des fonctions non périodiques pour commencer, et leur produit intérieur (tel que défini par votre intégrale) n'est pas périodique non plus. Et alors?

AlphaOmega

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Les fonctions @AlphaOmega sont orthogonales à intervalles déterminés. L'intervalle d'intégration doit être défini afin de savoir si deux fonctions sont orthogonales dans cet intervalle . La chose habituelle est d'intégrer le cosinus et le sinus dans une période, puis le produit intérieur est

0

$0$ . Si vous avez des fonctions non périodiques, alors vous devriez peut-être poser une autre question avec cela et voir ce qui se passe dans ce cas.

Tendero

Le produit intérieur doit toujours inclure les limites, sinon le produit intérieur n'est pas une fonction d'un champ. L'intervalle que vous choisissez modifie également l'espace vectoriel dont on parle.

syntonym

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L'orthogonalité est en effet définie via un produit interne, avec une intégrale pour une variable de temps ordinale continue, avec une somme pour une variable de temps discrète.

Lorsque vous convertissez deux signaux orthogonaux (continus) en signaux discrets (échantillonnage régulier, amplitudes discrètes), éventuellement fenêtrés (support fini), vous pouvez affecter l'orthogonalité. En d'autres termes: deux signaux orthogonaux à temps continu ne peuvent devenir que presque orthogonaux lorsqu'ils sont discrétisés. Si la discrétisation est assez fine et la fenêtre bien choisie, alors dans certains cas (concernant la périodicité, la fréquence), vous maintenez l'orthogonalité.

Dans le réglage continu, l'espace de fonction est infini, vous avez donc beaucoup d'options pour trouver des signaux orthogonaux. Dans un espace discret, le nombre maximum de signaux mutuellement orthogonaux est limité par la dimension de l'espace.

Laurent Duval
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Vous devez d'abord définir un produit interne pour les fonctions. Vous ne pouvez pas simplement vous multiplier.

Je ne suis pas sûr des propriétés du produit intérieur moi-même, mais selon cette conférence, un produit intérieur doit être commutatif, linéaire et le produit intérieur d'une fonction avec lui-même doit être défini positivement.

Une option pour un produit interne pour les fonctions pourrait être,

⟨ F_{1}, F_{2} ⟩ = \int_{une}^{b} F_{1} (X) F_{2} (X) ré X,

$\left\langle f_1, f_2 \right\rangle = \int_a^b f_1(x)\, f_2(x)\, \mathrm{d}x,$

avec $a<b$ . Mais peut-être pourriez-vous trouver vous-même différentes définitions ou jouer avec celle-ci et voir $a$ et $b$ , $\sin(x)$ et $\cos(x)$ sont orthogonales.

fibonatique
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Réellement,

s i n (2 π k_{1} f_{0} t)

$sin(2\pi k_1 f_0 t)$ et

\cos (2 π k_{2} f_{0} t)

$\cos(2\pi k_2 f_0 t)$ sont orthogonaux pour

b - a = \frac{n}{f_{0}}

$b-a=\frac{n}{f_0}$ et

k_{1}, k_{2} \in Z

$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$ avec

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$ . C'est la période fondamentale des deux fonctions.

Maximilian Matthé

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Les produits internes ne sont pas linéaires - ils sont bilinéaires pour les espaces vectoriels réels et sesquilinéaires pour les espaces complexes. Ils sont symétriques pour les espaces vectoriels réels et conjugués symétriques pour les espaces complexes.

Batman

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Je pense que je peux répondre à la question après avoir lu l'article "La décomposition du mode empirique et le spectre de Hilbert pour l'analyse des séries chronologiques non linéaires et non stationnaires" par Huang. Dans cet article (page 927), Huang a donné la définition de l'orthogonalité entre deux signaux:

Et aussi, je voudrais partager avec vous mon code MATLAB:

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

C'est tout, bonne chance ~

Lesan Jia
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En termes de multiplication matricielle (comme pour un DFT), l'intervalle équivalent d'intégration pour les signaux est déterminé par la taille de la matrice (ou la taille du vecteur d'entrée) et la fréquence d'échantillonnage. Ceux-ci sont souvent choisis en raison de considérations pratiques (temps ou espace d'intérêt et / ou de disponibilité, etc.). L'orthogonalité est définie sur cet intervalle d'intégration.

hotpaw2
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Je dirais que votre exemple est un peu décalé.

Vous n'avez probablement pas échantillonné les fonctions $\sin$ et $\cos$ correctement, en ce sens que l'échantillonnage doit respecter leur périodicité. Si vous échantillonnez ces fonctions sur l'ensemble $\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$ , Je vous assure que vous constaterez que le $N$ -les vecteurs dimensionnels que vous trouverez seront entièrement orthogonaux.

axplusb
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J'aime avoir une approche géométrique sur ce type de problème en me souvenant que la formule de Pythogoras est toujours valable pour les vecteurs:

| X - y |^{2} = | X |^{2} + | y |^{2} - 2 \cdot ⟨ X, y ⟩,

$| x - y |^2 = | x |^2 + | y |^2 - 2\cdot\left\langle x, y \right\rangle,$

avec le produit scalaire définissant le coefficient de corrélation comme le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs dans cet espace de produit interne :

⟨ X, y ⟩ = | X | \cdot | y | \cdot \cos (une n g l e (X, y)),

$\left\langle x, y \right\rangle = | x | \cdot | y | \cdot \cos( angle(x, y)),$

Le scalaire $\cos(angle(x, y))$ est donc limité entre $-1$ et $1$ et mesure le cosinus de l'angle $angle(x, y)$ entre les vecteurs $x$ et $y$ .

de telle sorte que, pour répondre à votre question, l' orthogonalité est définie (comme dans l'espace planaire de la géométrie habituelle) comme lorsque le cosinus est nul .

meduz
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que veux-tu dire par

\cos (f, g)

$\cos(f,g)$ ?

robert bristow-johnson

\cos

$\cos$ est le scalaire défini par la deuxième équation, j'ai ajouté une encre + j'ai essayé de rendre cela plus clair

meduz

vous voulez dire:

\begin{aligned} \cos (F, g) & ≜ \frac{⟨ F, g ⟩}{| F | \cdot | g |} \\ = \frac{| F |^{2} + | g |^{2} - | F - g |^{2}}{2 \cdot | F | \cdot | g |} \end{aligned}

$\begin{align} \cos(f,g) & \triangleq \frac{\langle f, g \rangle}{|f| \cdot |g|} \\ \\ &= \frac{|f|^2+|g|^2-|f-g|^2}{2 \cdot |f| \cdot |g|} \\ \end{align}$ c'est ce que vous dites? je n'ai jamais vu de fonction cosinus à deux arguments dans le demi-siècle près que j'avais été au courant d'une fonction cosinus.

robert bristow-johnson

vous avez raison, mon erreur, j'ai corrigé la formulation de ma réponse.

meduz

Quand deux signaux sont-ils orthogonaux?

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