Forme des éléments structurants des gradients morphologiques

Je cherche à comprendre les formes recommandées des éléments structurants utilisés dans le calcul des gradients morphologiques . Selon Pierre Soille: Analyse d'images morphologiques :

Seuls les éléments structurants symétriques contenant leur origine sont pris en compte. Ce faisant, nous nous assurons que la différence arithmétique est toujours non négative .

La différence arithmétique mentionnée dans la citation fait référence à trois combinaisons actuellement utilisées pour calculer le gradient discret:

• différence arithmétique entre la dilatation et l'érosion;
• différence arithmétique entre la dilatation et l'image d'origine;
• différence arithmétique entre l'image originale et son érosion.

Mais, je pense que l' utilisation d'un SE contenant son origine est suffisante (elle assure une anti-extensibilité de dilatation et une extensibilité d'érosion). Dans ce cas, ce qui suit tient et garantit la non négativité dans les trois cas:

$\varepsilon_B \leq id \leq \delta_B$ (où est la transformation d'identité)$id$

Je cherche une raison pour appliquer la condition de symétrie . Intuitivement, je comprends qu'il est préférable d'utiliser un SE symétrique que d'utiliser un SE non symétrique (par exemple en examinant un voisinage de pixels symétrique). Il m'a également été suggéré qu'il pourrait y avoir une raison historique à cette contrainte.

Cependant, je voudrais des exemples, des arguments ou des références spécifiques qui pointent vers les propriétés souhaitables des SE symétriques (ou les propriétés indésirables des non symétriques).

Pour les éléments plans (sous-entendus par l'expression "élément structurant"), le confinement d'origine est suffisant pour maintenir les propriétés d'anti-extensibilité pour l'érosion et d'extensibilité pour la dilatation comme on peut le trouver dans de nombreux textes et vous l'avez également souligné. Donc, oui, cela suffit pour la non-négativité de la différence arithmétique (cela est directement démontré par la contradiction). La raison pour laquelle ce morceau de texte est présent dans le livre de Pierre pourrait être simple: une erreur. Cette affirmation est appuyée par d'autres articles (comme "Morphological Gradients" de Rivest, Soille, Beucher; ou "An Overview of Morphological Filtering" par Serra, Vincent) sur le gradient morphologique défini par Beucher dans sa thèse. Maintenant, je m'attends à ce que la situation la plus courante soit l'application d'un gradient de manière isotrope,

Passons maintenant à la deuxième partie de la question (supposer que l'isotropie ne suffit pas pour conclure la réponse). La première raison que je peux donner pour utiliser des éléments symétriques est d'éliminer le fardeau de traiter avec les définitions multiples de l'érosion et de la dilatation présentes dans la littérature. Il s'avère que lorsque vous considérez des éléments symétriques, les définitions distinctes deviennent les mêmes, garantissant le même comportement entre différentes implémentations. L'utilisation d'éléments anisotropes traduira également vos objets, ce qui pourrait être utile uniquement pour certaines applications. De plus, certains éléments structurants sont décomposés de manière triviale lorsqu'ils sont symétriques, ce qui permet des applications plus rapides des opérations morphologiques.

J'ai recherché dans Jaehne, Gonzalez, Soille (celui que vous avez également posté Mathematical Morphology and Its Applications to Image and Signal Processing) et dans d'autres papiers morphologiques spéciaux et je n'ai trouvé aucun critère de conception pour l'élément structurant ni aucune indication particulière pourquoi il doit être symétrique.

Personnellement, je pense qu'un SE symétrique est bon pour les mêmes effets symétriques sur l'objet que vous souhaitez modifier. Avec mon expérience actuelle, je n'utiliserais pas un SE non symétrique, car je ne peux pas le prendre pour un objet ou un scénario et je ne sais pas comment il réagira dans d'autres cas.

Néanmoins, c'est une question intéressante et j'essaie d'obtenir une réponse.

Les éléments structurants asymétriques produisent une dilatation de translation sur l'ensemble ou l'image d'origine. La taille de la translation est déterminée par le décalage au centre de l'élément structurant. Par exemple, vous pouvez essayer ceci en utilisant matlab pour l'opérateur de dilatation:

I = imread('circles.png');
se = strel('disk',10); %you could see it with se = strel('line',5,180) 
%too but have to make sure that the origin still lies in the se.
se2 = translate(se,[-5,-5]) %offset the center by 5 pixels
figure, imshow(imdilate(I,se))
figure, imshow(imdilate(I,se2))

On évite cela car il introduit l'anisotropie à l'aide de l'élément structurant asymétrique. Mais on peut l'utiliser pour des applications de détection de bord je suppose.