Pourquoi le système LTI ne peut pas générer de nouvelles fréquences?

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Pourquoi $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$ implique qu'un système LTI ne peut pas générer de nouvelles fréquences?
Pourquoi si un système génère de nouvelles fréquences, alors ce n'est pas LTI?

convolution time-frequency UTILISATEUR
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L'une des caractéristiques définitives des systèmes LTI est qu'ils ne peuvent pas générer de nouvelles fréquences qui ne sont pas déjà présentes dans leurs entrées. Veuillez noter que dans ce contexte, une fréquence se réfère à des signaux de type ou qui sont de durée infinie , et sont également appelés fonctions propres des systèmes LTI (spécifiquement pour l'exponentielle complexe uniquement) et dont les transformées de Fourier CT sont exprimées par des fonctions impulsionnelles dans le domaine fréquentiel comme $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ ou respectivement. $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$

Une façon de voir pourquoi il en est ainsi consiste à observer la CTFT, , de la sortie , qui est donnée par la relation bien connue uniquement lorsque le système est LTI (et aussi stable en fait pour que existe). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(c.-à-d. ne s'applique que lorsque la réponse impulsionnelle existe et il n'existera que lorsque le système est LTI.)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (τ) h (t - τ) ré τ ⟷ Oui (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

À partir d'une petite réflexion, guidée par un tracé graphique simple, et en utilisant la propriété de multiplication ci-dessus, on peut voir que la région de fréquence de support (ensemble de fréquences pour lesquelles est non nul), de la sortie est donné par l' intersection des régions de support et des entrées et de la réponse en fréquence du système LTI: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

Et à partir de l' algèbre ensemble , nous savons que si puis et . Autrement dit, une intersection est toujours inférieure ou équivalente à ce qui est intersecté. Par conséquent, la région de support de sera inférieure ou au plus égale au support de . Par conséquent, aucune nouvelle fréquence ne sera observée à la sortie. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Puisque cette propriété est une condition nécessaire pour être un système LTI , tout système qui ne la possède pas ne peut donc pas être LTI.

Fat32
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Vous pouvez faire un simple argument algébrique, compte tenu de la prémisse que vous avez fournie. Si:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

où est le spectre du signal d'entrée et ) est la réponse en fréquence du système, alors il est évident que s'il y a un dans le signal d'entrée pour lequel , alors également; il n'y a pas de facteur que vous pourriez multiplier pour donner une valeur non nulle. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

Cela dit, établir la vérité de la prémisse avec laquelle j'ai commencé ci-dessus pour les systèmes LTI demande un certain travail. Cependant, si nous supposons que cela est vrai, le fait qu'un système LTI ne peut pas introduire de nouvelles composantes de fréquence à sa sortie suit directement.

Jason R
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la preuve serait de montrer que pour tout signal suffisamment bien comporté, la transformée de Fourier est inversible et le FT et son inverse sont linéaires. Chaque signal avec une fréquence est suffisamment bien comporté.

Marcus Müller

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Pourquoi implique qu'un système LTI ne peut pas générer de nouvelles fréquences? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Si une certaine fréquence n'est pas présente dans notre entrée, . Parce que 0 obéit à l'identité multiplicative , . Ainsi, la fréquence n'est pas présente dans le signal de sortie. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Pourquoi si un système génère de nouvelles fréquences, alors ce n'est pas LTI?

Disons que notre entrée est . Ensuite, si nous supposons que notre système peut générer de nouvelles fréquences, il est possible d'obtenir la sortie . Parce que nous ne pouvons pas trouver des constantes telles que , notre système n'est pas LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

Scott
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N'est-ce pas pour vérifier LTI que c1 est utilisé, et pas aussi c2?

USER

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je dirais que le premier point, qui est essentiellement que vous ne pouvez pas obtenir quelque chose de non nul en multipliant zéro fois quoi que ce soit, c'est la réponse concise.

robert bristow-johnson

c1 est utilisé pour la linéarité, c2 est utilisé pour le décalage temporel. Nous pourrions avoir un système LTI qui retarde tout d'une unité de temps.

Scott

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Un système LTI est diagonalisé par des fréquences pures . Les sinus / cosinus sont des vecteurs propres du système linéaire. En d'autres termes, toute entrée sinus ou cosinus non nulle (ou un cisoïde complexe) a une sortie sinus ou cosinus de la même fréquence exactement (mais l'amplitude de sortie peut disparaître).

La seule chose qui peut changer est leur amplitude ou leur phase. Par conséquent, si vous n'avez pas de sinus avec une fréquence donnée en entrée, vous n'obtenez rien (zéro) avec cette fréquence en sortie.

On répond à la deuxième question par contraposition ou regula falsi: si est vrai, tout comme $A\implies B$ . Si un système est LTI, il ne génère pas de nouvelles fréquences. Si un système génère de nouvelles fréquences, ce n'est pas LTI. $\overline{B}\implies \overline{A}$

Laurent Duval
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Pourquoi le système LTI ne peut pas générer de nouvelles fréquences?

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