Quelle est la relation entre le sigma dans le laplacien de gaussien et les deux sigmas dans la différence des gaussiens?

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Je comprends qu'un filtre laplacien-de-gaussien peut être approximé par un filtre de différence de gaussiens, et que le rapport des deux sigmas pour ce dernier devrait être de 1: 1,6 pour la meilleure approximation. Cependant, je ne sais pas comment les deux sigmas de la Différence des Gaussiens sont liés au sigma pour le Laplacien de Gaussien. Le plus petit sigma du premier est-il égal au sigma du second? Est le plus grand sigma? Ou la relation est-elle autre chose?

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> Je comprends qu'un filtre laplacien-de-gaussien peut être approximé par un filtre de différence de gaussiens, et que le rapport des deux sigmas pour ce dernier devrait être de 1: 1,6 pour la meilleure approximation. désolé avec quelle référence vous le saviez?
Salut, je pense que cette question conviendrait ici - area51.stackexchange.com/proposals/86832/… Elle soutiendrait également la communauté. Merci.
Royi

Réponses:

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Je comprends qu'un filtre laplacien-de-gaussien peut être approximé par un filtre de différence de gaussiens, et que le rapport des deux sigmas pour ce dernier devrait être de 1: 1,6 pour la meilleure approximation

En théorie, plus le rapport entre deux sigmas est petit, meilleure est l'approximation. En pratique, vous obtiendrez des erreurs numériques à un moment donné, mais tant que vous utilisez des nombres à virgule flottante, des valeurs inférieures à 1,6 vous donneront une meilleure approximation.

Pour illustrer, j'ai tracé une coupe transversale du LoG et du DoG pour quelques valeurs de k dans Mathematica:

entrez la description de l'image ici

Comme vous pouvez le voir, k = 1,6 n'est pas une approximation idéale. Par exemple, k = 1,1 donnerait une approximation beaucoup plus proche.

Mais vous voulez généralement calculer des approximations LoG pour une gamme de sigmas. (Sinon, pourquoi s'embêter avec l'approximation DoG? Le calcul d'une seule image filtrée LoG n'est pas plus cher que le calcul d'une seule image filtrée DoG.) Ainsi, la valeur de k est généralement choisie pour que vous puissiez calculer une série de filtres gaussiens filtrés. des images avec sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., puis calculez les différences entre les gaussiens adjacents. Donc, si vous choisissez un k plus petit, vous devrez calculer plus de "couches" de gaussiens pour la même gamme sigma. k = 1,6 est un compromis entre vouloir une approximation proche et ne pas vouloir calculer trop de gaussiens différents.

Cependant, je ne sais pas comment les deux sigmas de la Différence des Gaussiens sont liés au sigma pour le Laplacien de Gaussien. Le plus petit sigma du premier est-il égal au sigma du second?

t=σ2σ2+Δtσ2ΔtΔt0

σLaplace=σ1+k22

Niki Estner
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je suis désolé si je me trompe, mais n'est-ce pas que le calcul de LoG est en fait plus cher que DoG. puisque le gaussien peut être séparé en 2 filtres 1D, ce qui signifie que la complexité sera O linéaire (2n) au lieu du polynôme O (n ^ 2)
user1916182
@ user1916182: Vrai, un filtre LoG n'est pas séparable en soi. Mais ce n'est pas non plus un filtre DoG. Mais ce sont deux sommes de deux filtres séparables (deux gaussiens avec une échelle différente pour le DoG, deux filtres dérivés gaussiens de 2e ordre pour le LoG). Vous faire gagner du temps dePomeranian si vous pouvez utiliser le « plus grand » des deux gaussiennes pour le prochain niveau d'échelle, de sorte que vous devez calculer n + 1 gaussiennes pour les échelles n, contrairement à 2 * n filtres dérivés gaussiennes pour n échelles LoG .
Niki Estner
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Peut-être que les formules ici peuvent vous aider.

Étant donné que la représentation de l'espace d'échelle satisfait à l'équation de diffusion, le LoG peut être calculé comme la différence entre deux tranches d'espace d'échelle.

Par conséquent, lors de la dérivation de la formule DoG, nous approchons d'abord le LoG avec une différenciation finie. Je pense que le rapport spécifique pour sigma vient du fait qu'un pas unitaire d'échelle est pris pour approximer LoG en premier lieu.

Libor
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Merci, mais je les ai déjà regardés. Ils ne semblent pas me dire si sigma ou k * sigma est la valeur correspondant au paramètre t (qui est la même que la valeur sigma pour le laplacien de l'équation gaussienne).
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C'est quelque part entre les deux: s <t <k * s. Puisque la différence (y (a) - y (b)) / (ba) se rapproche (lorsque b - a -> 0) de la dérivée en (a + b) / 2. Cependant, comme vous ne prenez pas la limite de k-> 1, ce n'est qu'une approximation et vous ne pouvez pas vraiment identifier le meilleur sigma (sauf si vous définissez un critère d'optimisation spécifique).
nimrodm