Que sont les pôles et les zéros?

Le concept de pôles et de zéros dans les filtres m'a été présenté pendant notre laboratoire (notre laboratoire n'est pas synchronisé avec notre cours) à travers la génération de filtres à poteau zéro dans MATLAB. Je n'ai pas pris son importance jusqu'à ce qu'il soit mentionné dans notre conférence que les pôles font l'équation à l'infini (ou son dénominateur zéro) tandis que les zéros font les racines dans le numérateur zéro. Je n'arrive toujours pas à comprendre ce que sont les pôles et les zéros. Quelqu'un peut-il donner une explication intuitive et simple sur ce que sont les pôles et les zéros? Très appréciée.

Prenez l'équation b / (xc) avec b non nul. Le rapport passe à l'infini lorsque x s'approche de c. Donc c est l'emplacement d'un pôle (quelque chose de haut et pointu dans un graphique).

Prenez l'équation (xb) / c avec c non nul. Le rapport passe à zéro lorsque x se rapproche de b. Donc b est l'emplacement de quelque chose communément appelé "zéro".

Vous pouvez non seulement le faire avec un scalaire x, mais avec un complexe x, ainsi le domaine des pôles et des zéros sera sur un plan (complexe) plutôt que sur une ligne.

Si le rapport représente quelque chose au sujet de la réponse d'un filtre, cela pourrait dire que la sortie des filtres est à ou près de zéro lorsque l'entrée est à ou près d'une réponse "zéro". Et de mauvaises choses peuvent commencer à se produire lorsque x se rapproche d'un pôle (l'alimentation commence à fumer lorsqu'on lui demande de fournir des amplis infinis, les opérations mathématiques produisent des NaN ou des débordements à point fixe, etc.)

Pour ajouter aux autres bonnes réponses, j'ai trouvé les graphiques suivants utiles pour acquérir une meilleure compréhension intuitive, plus spécifiquement pour les pôles et les zéros des fonctions de transfert.

(MISE À JOUR: Je viens également de découvrir cet autre article similaire de @Endolith qui est très bon: comment les pôles sont liés à la réponse en fréquence )

Ci-dessous se trouve la fonction de transfert d'un filtre passe-bas à deux pôles dans le demi-plan gauche, donnée par la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle du filtre. Il s'agit d'un système analogique mais des représentations équivalentes peuvent être faites pour les systèmes numériques dans le domaine z au lieu du domaine s.

Le graphique de gauche est le diagramme typique que nous voyons lorsqu'il est présenté à des pôles et à des zéros montrant leur emplacement sur le plan s, notant qu'un pôle est la valeur de s qui fait que l'équation X (s) va à l'infini tandis qu'un zéro est la valeur de s qui fait passer l'équation X (s) à zéro. Donc, oui, ce système particulier a également deux zéros à l'infini puisque ces valeurs pour s font que l'équation va à zéro.

À droite, un tracé 3D montrant l'amplitude de X (s) pour toutes les valeurs de s sur le plan complexe. Il est intéressant de noter que c'est le seul tracé qui résulterait d'un tel rapport de polynômes, de sorte que nous l'avons complètement décrit simplement à partir du pôle et de l'emplacement zéro! Donc, chaque point sur cette surface est communiqué dans ce cas simplement à partir des emplacements des deux pôles donnés.

Notamment, nous sommes souvent intéressés par la réponse en fréquence d'un filtre ou d'un système. s est l'entrée qui, sur le plan complexe, peut avoir des composants réels et imaginaires. Plus précisément, lorsque s est a a une valeur imaginaire constante uniquement, nous décrivons une fréquence constante. Ainsi, une tranche le long de la$j\omega$ l'axe dans le tracé 3D montré de toutes les amplitudes montrerait la réponse en amplitude du filtre, comme illustré dans le coin supérieur droit du tracé ci-dessus (qui est l'équivalent de l'amplitude de la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du filtre).

Ce qui n'est pas montré dans le graphique 3D ci-dessus est la "région de convergence" montrant toutes les valeurs de s où la transformée de Laplace converge vers une valeur finie selon que le système est causal ou anti-causal.

La fonction de transfert d'un réseau (boîte noire) est généralement une fonction rationnelle avec un numérateur et un polynôme dénominateur. Selon le théorème fondamental de l'algèbre de Gauss, un polynôme peut également être écrit comme le produit des zéros polynomiaux. Les zéros du polynôme dénominateur créent donc les pôles de la fonction de transfert (1 / zéro = infini -> pôle). Les zéros du polynôme numérateur sont les zéros de la fonction de transfert.

Voir aussi: http://www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

Tout d'abord, vous devriez voir un plan z comme un ensemble de signaux exponentiels complexes. Si$z = z_0$, puis signal discret correspondant $Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$. Si$|z_0|<1$, c'est un signal en décomposition.

Deuxièmement, les pôles et les zéros sont utilisés pour décrire un système IIR, c'est-à-dire un système avec rétroaction.

Les zéros sont faciles: si le système a un zéro à $z_0$, cela signifie un signal défini par $z_0$sur un plan z passera par une boucle de rétroaction et somme avec lui-même strictement déphasé, ce qui entraîne une sortie nulle. Les pôles sont un peu plus délicats: si le système a un pôle à$z_0$, cela signifie qu'un système générera ce signal alors qu'il est perturbé et se déplace librement. Évidemment, si le système a un pôle pour augmenter le signal ($|z_0|>1$), c'est instable. Lors de la conception d'un filtre, des zéros doivent être placés pour supprimer les fréquences indésirables. Les poteaux sont placés de telle sorte que

• ils annulent l'influence des zéros pour les fréquences à passer
• le filtre reste stable