Différentes représentations de l'espace d'état pour l'auto-régression et le filtre de Kalman

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Je vois qu'il existe différentes façons d'écrire un modèle AR dans une représentation de l'espace d'état, afin que nous puissions appliquer un filtre de Kalman pour estimer le signal. Voir les exemples 1, 2 et 3 ici .

Je me demande quelles sont les différences entre les différentes représentations de l'espace d'état sur l'estimation par filtre de Kalman?

Merci!

Tim
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C'est le bon endroit pour cela, pas la science informatique . Si vous n'avez pas obtenu de réponses, essayez de mettre à jour le message montrant vos efforts au cours de la semaine dernière - avez-vous essayé de vous rechercher vous-même? Une autre option consiste à ajouter une prime ...
Lorem Ipsum
La discussion semble être plus théorique qu'ici. Le filtre de Kalman est une méthode d'estimation optimale pour un système dynamique stochastique. Il s'intègre donc parfaitement dans la science informatique. Je n'ai encore rien trouvé d'utile.
Tim
avez-vous essayé de placer une prime? Il suffit d'attirer davantage l'attention sur votre question, et il existe des moyens de le faire ...
Lorem Ipsum

Réponses:

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Je ne sais malheureusement pas grand-chose sur les filtres de Kalman, mais je pense que je peux vous aider avec les trucs de l'espace d'état.

Dans l'exemple 1, le modèle AR est exactement votre bonne vieille définition récursive de sortie DSP:

yt=α+ϕ1yt-1+ϕ2yt-2+ηt

Dans ce cas, nous écrivons le modèle de l'espace d'état avec une correspondance directe avec l'équation ci-dessus:

(ytyt-1)=(ϕ1ϕ210)(yt-1yt-2)+(α0)+(10)ηt

Notez que dans ce cas, les états du système sont les valeurs actuelles et précédentes de la sortie.

Dans le deuxième exemple, vous séparez vos états cà partir de vos valeurs de sortie. Cela signifie que les états peuvent désormais être n'importe quoi, même s'ils correspondent toujours directement aux valeurs de sortie. De cette façon, nous obtenons

yt=μ+ct

ct=ϕ1ct-1+ϕ2ct-2+ηt

Et donc

(ctct1)=(ϕ1ϕ210)(ct1ct2)+(10)ηt

Vous devez également reconnaître cela comme la représentation standard de l'espace d'état d'un système linéaire, car vos équations d'évolution d'état et de sortie dépendante de l'état sont deux équations différentes . Cette séparation est triviale dans le cas d'un modèle AR, mais cette dernière notation est la façon dont nous pensons à tous les modèles linéaires espace-état en général.

Le troisième exemple est curieux. Si vous multipliez tous les coefficients, vous vous rendrez compte qu'il est en fait équivalent aux premier et deuxième exemples. Alors pourquoi faire ça? Il s'avère que l'exemple 2 (étant la représentation appropriée de l'espace d'état du système) est appelé la forme canonique contrôlable de ce système. Si vous faites un peu de lecture ou analysez simplement le système avec soin, vous vous rendrez compte que nous pouvons mettre ce système dans n'importe quel état que nous aimons à conditionϕ1 et ϕ2 avec l'entrée unique α. Par conséquent, nous appelons de tels systèmes contrôlables , et il est très facile de voir à partir de cette forme d'équations espace-état.

Il faut noter que deux systèmes linéaires peuvent être identiques jusqu'à un changement de base. Cela signifie que nous pouvons choisir une base différente pour représenter le même système linéaire. Vous pouvez vous convaincre que c'est exactement ce que nous avons fait pour passer du deuxième au troisième exemple. En particulier, nous aimons cette transformation linéaire pour transposer la matrice de transition d'état, afin d'obtenir un état inconnus

yt=(10)αt

αt=(stst1)=(ϕ1ϕ210)(st1st2)+(α0)+(10)ηt

Maintenant, nous pouvons utiliser le changement de base pour savoir ce que cet état s doit être par rapport à l'État y. Et nous pouvons le calculer pour être

(stst1)=(ytϕ2yt1)

Cette forme (transposition de la forme canonique de contrôlabilité) est appelée la forme canonique d'observabilité parce que si nous pouvons mettre un système sous cette forme, nous pouvons facilement déduire quels états du système peuvent être observés en regardant simplement la sortie. Pour une description des formes canoniques, vous pouvez lire ce document , et bien sûr regarder autour sur le web. Notez que dans le document, les états sont inversés, ce qui ne change rien à la représentation du système, réorganisant simplement les lignes / colonnes des matrices.

Phonon
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En bref, tout dépend de ce que vous essayez d'estimer, c'est-à-dire de ce que vous savez du signal et de ce que vous ne savez pas. Le filtre de Kalman tentera d'estimer l'état en fonction de votre définition de cet état. Le problème conventionnel est lorsque nous essayons d'estimer les coefficients AR.

Prenons un exemple de UNER(2) modèle sans terme constant μ.

yk=une1yk-1+une2yk-2+ηk

Pour estimer le système ci-dessus, il vous suffit d'estimer les coefficients AR, une1 et une2.

Configuration générale de l'espace d'état du filtre de Kalman:

Xk=Fk-1Xk-1+wk
yk=HkXk+vk
wk=WgN(0,Qs) et vk=WgN(0,Qo)

Dans ce cas, nous devons estimer une1 et une2. Il est donc naturel de définir l'état comme ces coefficients.Xk=[une1,une2]T Pour cet exemple, ces coefficients sont constants (Fk=Fk-1=je) et il n'y a pas non plus de bruit dans ces coefficients -> wk=0Qs=0.

Puisque tout ce que nous observons est yk, ils deviennent les mesures de notre système. Puisque nous avons déjà défini ce qu'est le vecteur d'état, pour que nos équations de mesure soient égales au modèle AR donné, nous remplaçons notre bruit de mesurevk avec ηk et Hk=[yk-1,yk-2].

Xk=Xk-1=[une1une2]
yk=HkXk+ηk=[yk-1yk-2][une1une2]+ηk

Maintenant, vous pouvez utiliser le filtre de Kalman pour estimer votre état et par conséquent votre signal.

Remarque: La seule chose étrange ici est votre matrice Hk dépend de vos mesures yk. Certaines personnes pensent à tort que les gains de Kalman et la matrice de covariance d'état sont toujours indépendants de la mesure et qu'ils peuvent être calculés à l'avance. Ce cas montre clairement que ce n'est pas le cas. Le gain de Kalman et la matrice de covariance d’État sont estimés avec des fonctions de Hk, qui dans ce cas dépend de la mesure.

ssk08
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Je ne suis pas d'accord. Je pense que vous comprenez l'observabilité des états en incluant la mesure dans la matrice