Comprendre les conditions Wolfe pour une recherche de ligne inexacte

Selon Nocedal & Wright's Book Numerical Optimization (2006), les conditions de Wolfe pour une recherche en ligne inexacte sont, pour une direction de descente ,$p$

Diminution suffisante: Condition de courbure: pour$f(x+\alpha p)\le f(x)+c_1\alpha_k\nabla f(x)^T p$
$\nabla f(x+\alpha p)^Tp\ge c_2 \nabla f(x)^T p$
$0<c_1<c_2<1$

Je peux voir comment la condition de diminution suffisante indique que la valeur de la fonction au nouveau point doit être sous la tangente en . Mais je ne sais pas ce que la condition de courbure me dit géométriquement. Aussi, pourquoi la relation être imposée? Qu'est-ce que cela accomplit, géométriquement?$x+\alpha p$$x$$c_1<c_2$

La condition de courbure dit essentiellement ceci: Nous savons que (car est une direction de descente). Donc dans la direction , ça descend. Maintenant, nous recherchons un minimum, c'est-à-dire un point où . Cela signifie que nous ne voulons pas accepter les longueurs de pas où le gradient dans la direction , c'est-à-dire, est toujours aussi négatif qu'il l'est en x. Nous voulons plutôt nous arrêter à un endroit où le gradient est moins négatif, voire positif.$\nabla f(x)\cdot p < 0$$p$$p$$\nabla f=0$$x+\alpha p$$p$$\nabla f(x+\alpha p) \cdot p$

Étant donné que le côté droit de la condition de courbure est négatif, une variante courante de la condition consiste à exigerque je trouve généralement plus facile à comprendre.

Comprendre cela vous permettra de construire facilement des cas où vous ne pouvez pas remplir les deux conditions à moins que .$c_1<c_2$