Que sont exactement les anyons et comment sont-ils pertinents pour l'informatique quantique topologique?

J'ai essayé d'avoir une idée de base de ce que sont les anyons ces deux derniers jours. Cependant, les articles en ligne (y compris Wikipedia) semblent inhabituellement vagues et impénétrables en ce qui concerne l'explication de l'informatique quantique topologique et autres.

La page Wiki sur l'ordinateur topologique quantique dit:

Un ordinateur quantique topologique est un ordinateur quantique théorique qui utilise des quasiparticules bidimensionnelles appelées anyons , dont les lignes du monde se croisent pour former des tresses dans un espace-temps tridimensionnel (c'est-à-dire une dimension temporelle plus deux dimensions spatiales ). Ces tresses forment les portes logiques qui composent l'ordinateur. L'avantage d'un ordinateur quantique basé sur des tresses quantiques par rapport à l'utilisation de particules quantiques piégées est que le premier est beaucoup plus stable. De petites perturbations cumulatives peuvent provoquer la décohésion des états quantiques et introduire des erreurs dans le calcul, mais ces petites perturbations ne modifient pas les propriétés topologiques des tresses.

Cela semblait intéressant. Donc, en voyant cette définition, j'ai essayé de rechercher ce que sont les anyons :

En physique, un anyon est un type de quasiparticule qui ne se produit que dans des systèmes bidimensionnels , avec des propriétés beaucoup moins restreintes que les fermions et les bosons. En général, l'opération d'échange de deux particules identiques peut provoquer un déphasage global mais ne peut pas affecter les observables.

D'accord, j'ai une idée de ce que sont les quasiparticules sont les - . Par exemple, lorsqu'un électron parcourt un semi-conducteur, son mouvement est perturbé de manière complexe par ses interactions avec tous les autres électrons et noyaux; cependant, il se comporte approximativement comme un électron avec une masse différente (masse efficace) voyageant sans être perturbée dans l'espace libre. Cet "électron" de masse différente est appelé "quasiparticule électronique". J'ai donc tendance à supposer qu'une quasi-particule, en général, est une approximation du phénomène complexe de particules ou d'ondes qui peut se produire dans la matière, ce qui serait difficile à traiter mathématiquement autrement.

Cependant, je n'ai pas pu suivre ce qu'ils disaient après cela. Je sais que les bosons sont des particules qui suivent les statistiques de Bose-Einstein et les fermions suivent les statistiques de Fermi-Dirac .

Des questions:

• Cependant, que signifient-ils par "beaucoup moins restreint que les fermions et les bosons"? Les «anyons» suivent-ils un type de distribution statistique différent de celui des bosons ou des fermions?

• Dans la ligne suivante, ils disent que l'échange de deux particules identiques peut provoquer un déphasage global mais ne peut pas affecter les observables. Qu'entend-on par déphasage global dans ce contexte? De plus, de quels observables parlent-ils réellement ici?

• Comment ces quasiparticules, c'est-à-dire les anyons, sont-elles réellement pertinentes pour l'informatique quantique? J'entends toujours des choses vagues comme " Les lignes du monde d'ons forment des tresses / nœuds en 3 dimensions (2 spatiales et 1 temporelle). Ces nœuds aident à former des formes stables de matière, qui ne sont pas facilement sensibles à la décohérence ". Je pense que cette vidéo Ted-Ed donne une idée, mais elle semble traiter de la restriction des électrons (plutôt que des "anyons") pour se déplacer sur un certain chemin fermé à l'intérieur d'un matériau.

Je serais heureux si quelqu'un pouvait m'aider à relier les points et à comprendre la signification et la signification des "anyons" à un niveau intuitif. Je pense qu'une explication de niveau profane me serait plus utile au départ, plutôt qu'une explication mathématique complète. Cependant, je connais la mécanique quantique de base du premier cycle, vous pouvez donc l'utiliser dans votre explication.

La première chose à faire est de penser topologiquement: assurez-vous de comprendre pourquoi une tasse de café est la même chose topologiquement qu'un beignet.

Maintenant, imaginez que nous échangeons deux particules identiques, et recommençons, afin que nous soyons de retour là où nous avons commencé. Appliquer cette réflexion topologique aux chemins empruntés par les particules: c'est la même chose que de ne rien faire.

Ici, je montre une image de cela, où une particule est traînée autour d'une autre particule. Topologiquement, le chemin emprunté peut être déformé en chemin "ne rien faire".

La racine carrée de cette opération est un échange:

Étant donné que la racine carrée de 1 est +1 ou -1, un échange affecte l'état en le multipliant par +1 (pour les bosons) ou -1 (pour les fermions).

Pour comprendre n'importe quoi, nous allons faire la même analyse, mais avec une dimension de moins. Alors maintenant, une particule s'enroulant autour d'une autre particule n'est pas topologiquement la même que l'opération "ne rien faire":

Nous avons besoin de la troisième dimension supplémentaire pour démêler le chemin du anyon, et comme nous ne pouvons pas le faire topologiquement, l'état du système pourrait être modifié par un tel processus.

Les choses deviennent plus intéressantes à mesure que nous ajoutons des particules. Avec trois heures, les chemins empruntés peuvent être emmêlés ou tressés de manière arbitraire. Pour voir comment cela fonctionne, il est utile d'utiliser trois dimensions: deux dimensions d'espace et une dimension de temps. Voici un exemple de trois anyons errant puis revenant là où ils ont commencé:

Bien avant que les physiciens ne commencent à penser à tous les jours, les mathématiciens ont déjà compris comment ces processus de tressage se combinent pour former de nouvelles tresses ou défaire des tresses. Ceux-ci sont connus sous le nom de "groupes de tresses" dans des travaux qui remontent à Emil Artin en 1947.

Comme la distinction entre Bosons et Fermions ci-dessus, différents systèmes anyon se comporteront différemment lorsque vous effectuerez ces opérations de tresse. Un exemple d'onon, connu sous le nom d'onon de Fibonacci, est capable d'approximer n'importe quelle opération quantique simplement en faisant ce genre de tresses. Et donc théoriquement, nous pourrions les utiliser pour construire un ordinateur quantique.

J'ai écrit un article d'introduction sur anyons, c'est là que j'ai obtenu ces photos: https://arxiv.org/abs/1610.05384 . Il y a plus de mathématiques là-bas, ainsi qu'une description d'un proche cousin de la théorie anyon connue sous le nom de "foncteur modulaire".

Voici une autre bonne référence, avec plus de bonté Fibonacci anyon: Introduction au calcul quantique topologique avec des anyons non abéliens

EDIT : Je vois que je n'ai rien dit sur les observables. Les observables du système mesurent le contenu total d'onon dans une région. En termes de chemins d'onon, nous pouvons penser à cela comme rassemblant tous les onons d'une région et en les «fusionnant» en un anyon, qui peut être l'état de vide «no anyon». Pour un système prenant en charge FonBonacci Anyon, il n'y aura que deux résultats pour une telle mesure: Fibonacci Anyon ou vide. Un autre exemple est le code torique où il y a quatre résultats anyon.

Vous avez raison, il semble que la page Wikipédia ait besoin de travail, je vais donc devoir la mettre à jour. Mais pour l'instant, je répondrai aux cinq questions:

1) Que signifient-ils par "beaucoup moins restreints que les fermions et les bosons?"

$|\psi_1\psi_2\rangle = \pm|\psi_2\psi_1\rangle$
$+$$-$

$|\psi_1\psi_2\rangle = e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle$
$\theta=0$$\theta=\pi$

2) Les "anyons" suivent-ils un type de distribution statistique différent de celui des bosons ou des fermions?

$\theta$$0$$\pi$

3) L' échange de deux particules identiques peut provoquer un déphasage global mais ne peut pas affecter les observables. Qu'entend-on par déphasage global dans ce contexte?

$e^{i\theta}$$-1$

Ce que l'article de Wikipédia aurait dû dire, c'est que lorsque vous échangez deux particules identiques deux fois, vous obtenez toujours un déphasage global, ce qui n'est pas vrai pour les bosons et les fermions. Ici, les première et deuxième flèches indiquent les première et deuxième fois où nous échangeons les particules 1 et 2:

$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow |\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow |\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow -|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow -(-|\psi_1\psi_2\rangle)=|\psi_1\psi_2\rangle$
$|\psi_1\psi_2\rangle \rightarrow e^{i\theta}|\psi_2\psi_1\rangle \rightarrow e^{i\theta}(e^{i\theta})=e^{i2\theta}|\psi_1\psi_2\rangle$$e^{i2\theta}$

4) De plus, de quels observables parle-t-on ici?

$x$$x$$\langle \psi|\hat{x}|\psi\rangle$

$| \psi\rangle=e^{i\theta}|\phi\rangle$
$\langle \psi|=e^{-i\theta}\langle\phi|$
$\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle = \langle\phi|\hat{x}|\phi\rangle$

$|\phi\rangle$$|\psi\rangle$$e^{i\theta}$, comme dans ce cas, ont les mêmes observations dans l'expérience.

5) Comment ces quasiparticules, c'est-à-dire les anyons, sont-elles réellement pertinentes pour l'informatique quantique?

Il existe de nombreuses propositions pour construire un ordinateur quantique, par exemple:

• (i) Les ordinateurs quantiques RMN utilisent des fermions (comme le spin d'un proton).
  
• (ii) Les ordinateurs quantiques photoniques utilisent des bosons (les photons sont des bosons)
  
• (iii) Les ordinateurs quantiques topologiques sont un type proposé d'ordinateurs quantiques qui utiliseraient des anyons.

Un avantage de (iii) sur (i) est que les fidélité devraient être beaucoup plus grandes. L'avantage par rapport à (ii) est qu'il devrait être plus facile de faire interagir les qubits. L'inconvénient par rapport à la fois (i) et (ii) est que les expériences impliquant des anyons sont relativement nouvelles. La RMN existe depuis 1938 et les lasers (photonique) existent depuis 1960, mais les expériences avec les anyons ont commencé dans les années 1980 et sont encore loin d'atteindre la maturité de la science du spin ou de la science du laser, pour ne pas dire que cela ne se produira jamais dans l'avenir.

"Je pense qu'une explication de niveau profane me serait plus utile au départ, plutôt qu'une explication mathématique complète."

Une définition de profane sans mathématiques va être très difficile car ce qui distingue les anyons des bosons et des anyons, c'est que l'échange des anyons introduit un facteur de $e^{i\theta}$à la fonction d'onde, qui est une explication mathématique. Si je devais expliquer n'importe quoi à quelqu'un qui sait ce qu'est une fonction d'onde mais rien d'autre, je dirais:

"Lorsque deux particules sont commutées, la fonction d'onde du système global reste la même pour les bosons, capte un signe négatif pour les fermions et peut capter n'importe quel facteur de la forme $e^{i\theta}$ pour tous les jours. "