Pourquoi est-il crucial que l'hamiltonien initial ne commute pas avec l'hamiltonien final dans le calcul quantique adiabatique?

J'ai lu dans de nombreuses sources et livres sur le calcul quantique adiabatique (AQC) qu'il est crucial que le hamiltonien initial ne commute pas avec le hamiltonien final , c'est-à-dire . Mais je n'ai jamais vu d'argument expliquant pourquoi c'est si important.$\hat{H}_i$ [ H i, H f]≠$\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Si nous supposons une dépendance temporelle linéaire, l'hamiltonien de l'AQC est où est l'échelle de temps adiabatique.

Ma question est donc la suivante: pourquoi est-il crucial que le hamiltonien initial ne commute pas avec le hamiltonien final?

Dans QC adiabatique, vous codez votre problème dans un hamiltonien de telle sorte que votre résultat peut être extrait de l'état fondamental. La préparation de cet état fondamental est difficile à faire directement, vous devez donc plutôt préparer l'état fondamental d'un hamiltonien «facile», puis interpoler lentement entre les deux. Si vous allez assez lentement, l'état de votre système restera à l'état fondamental. À la fin de votre processus, vous aurez la solution.

Cela fonctionne selon le théorème adiabatique . Pour que le théorème se vérifie, il doit y avoir un écart d'énergie entre l'état fondamental et le premier état excité. Plus l'écart est petit, plus vous devez interpoler lentement pour éviter le mélange entre l'état fondamental et les premiers états excités. Si l'écart se réduit, un tel mélange ne peut pas être empêché et vous ne pouvez pas aller assez lentement. La procédure échoue à ce stade.

Si les déplacements hamiltonien initial et final, cela signifie qu'ils ont les mêmes états propres d'énergie. Ils s'accordent donc sur les États auxquels l'énergie est attribuée et ne sont en désaccord que sur les énergies qu'ils reçoivent. L'interpolation entre les deux hamiltoniens ne fait que changer les énergies. L'état fondamental final aurait donc été un état excité au début, et l'état fondamental d'origine devient excité à la fin. À un moment donné, en passant les uns par les autres, les énergies de ces états seront égales, et donc l'écart entre eux se fermera. Cela suffit pour voir que le fossé énergétique doit se réduire à un moment donné.

Avoir des hamiltoniens non-navetteurs est donc une condition nécessaire pour maintenir l'écart ouvert, et donc pour l'AQC.

Si deux matrices (dans ce cas, les hamiltoniens) font la navette, elles ont les mêmes vecteurs propres. Donc, si vous préparez un état fondamental du premier hamiltonien, cela restera (grosso modo) un état propre tout au long de l'évolution adiabatique, et donc vous sortez exactement ce que vous y mettez. Cela n'a aucune valeur.

Si vous voulez être un peu plus strict, il se peut que votre hamiltonien initial ait une dégénérescence qui est levée par le deuxième hamiltonien, et vous espérez peut-être faire évoluer le système vers l'état fondamental unique. Notez, cependant, que la dégénérescence est levée à l'instant où il y a une quantité non nulle du deuxième hamiltonien. Quel que soit son effet, il peut être instantané. Je crois que vous n'obtenez pas une évolution adiabatique appropriée. Au lieu de cela, vous devez écrire votre état initial en tant que superposition des nouveaux états propres, et ceux-ci commencent à évoluer avec le temps, mais vous n'augmentez jamais le chevauchement de votre état avec l'état cible (l'état fondamental).

Dans le contexte des optimiseurs Ising ayant un hamiltonien initial qui commute avec le problème, hamiltonien signifie qu'il s'agit essentiellement de produits d' opérateurs , ce qui signifie que ses états propres sont des chaînes de bits classiques. Par conséquent, l'état fondamental au début ( t = 0) sera également classique, pas une superposition de toutes les chaînes de bits possibles.$\sigma^Z$$t$

De plus, même au-delà des limites strictes de l'AQC (par exemple, recuit quantique en système ouvert, QAOA, etc.) si l'hamiltonien conducteur commute alors il ne peut pas induire de transitions entre les états propres du hamiltonien problème mais seulement changer la phase des amplitudes dans la fonction d'onde ; et vous voulez un pilote capable d'induire des effets de retournement afin d'explorer l'espace de recherche.

Commençons par un exemple simple où et H f font la navette car ils sont tous les deux en diagonale:$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Ceci est donné et expliqué dans l'équation. 2 de Tanburn et al. (2015) .

• $\epsilon = 0.1$
• $||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

Ainsi, le théorème adiabatique s'applique toujours, mais quand il déclare que l'hamiltonien doit changer "assez lentement", il s'avère qu'il doit changer "infiniment lentement", ce qui signifie que vous n'obtiendrez probablement jamais la réponse en utilisant AQC.